Практика_1 Кожин Численные

9

Практика № 1

Способы нахождения обратной матрицы

1. Метод Гаусса

Пусть имеется матрица А и единичная матрица Е. Если приводить матрицу А к единичной и аналогичные операции выполнять с единичной, то единичная матрица Е будет преобразована к матрице обратной к А

Для получения обратной матрицы может быть использован следующий поход:

1. Построим матрицу Δ_n

1		…		–a1n/ann
	1	…		–a2n/ann
…	…	…	…	…
		…	1	–an-1n /ann
		…		1/ann

2. Умножим матрицу Δ_n *А

1		…	δ1n		a11	a12	…	а1n
	1	…	δ2n		a21	a22	…	а2n
…	…	…	…		…	…	…	…
		…	δn–1n		an-1 1	an-1 2	…	аn–1n
		…	δnn		an 1	an2	…	аnn

Получим новую матрицу Аⁿ , в которой последний столбец имеет нулевые значения за исключением элемента aⁿ_{n n} . Элемента aⁿ_{n n} имеет значение равное 1.

an11	an12	…	0
an21	an22	…	0
…	…	…	…
ann-1 1	ann-1 2	…	0
ann 1	ann2	…	1

3. Для матрицы Аⁿ сформируем матрицу Δ_n–1

   1		…	–a1n/ann
   	1	…	–a2n/ann
   …	…	…	…	…
   		…	1/an–1n–1	0
   		…	–ann–1 /an–1n–1	1

4. Умножим матрицу Δ_n–1 на Аⁿ и получим А^n–1 . Соответствующий столбец матрицы А^n–1 будет иметь вид:

an11	an12	…	0	0
an21	an22	…	0	0
…	…	…	0	…
ann-1 1	ann-1 2	…	1	0
ann 1	ann2	…	0	1

Действуя аналогично для остальных столбцов , исходная матрица А приводится к единичной.

Обратная матрица получается как произведение матриц Δ_i i=1÷n, так как

Δ₁ * Δ₂ *…* Δ_n–1 * Δ_{n *}A=E

Пример

Пусть дана матрица А

1	2	3	4
3	4	5	1
1	3	4	2
4	2	4	1

Тогда Δ₄ будет иметь вид

1	0	0	-4
0	1	0	-1
0	0	1	-2
0	0	0	1

Произведение Δ₄*А=A₃ будет иметь вид

-15	-6	-13	0
-1	2	1	0
-7	-1	-4	0
4	2	4	1

Δ_{3 =}

1	0	-3,25	0
0	1	0,25	0
0	0	-0,25	0
0	0	1	1

Δ₃*А_{3 =} А₂

7,75	-2,75	0	0
-2,75	1,75	0	0
1,75	0,25	1	0
-3	1	0	1

Δ_{2 =}

1	1,5714	0	0
0	0,5714	0	0
0	-0,1429	1	0
0	-0,5714	0	1

Δ₂*А_{2 =} А₁

3,4285714	0	0	0
-1,5714286	1	0	0
2,1428571	0	1	0
-1,4285714	0	0	1

Δ₁=

0,2917	0	0	0
0,4583	1	0	0
-0,625	0	1	0
0,4167	0	0	1

Δ₁*А_{1 =}

1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

Получена единичная матрица

Обратная матрица равна Δ₁ * Δ₂ * Δ₃ * Δ₄=

0,2916667	0,4583333	-0,8333333	0,0416667
0,4583333	1,2916667	-1,1666667	-0,7916667
-0,625	-1,125	1,5	0,625
0,4166667	0,0833333	-0,3333333	-0,0833333

2. Использование союзной матрицы

Обратная матрица может быть вычислена по формуле

A^–1 = A^*/det(A)

где А^* – союзная матрица.

Союзная матрица строится из миноров транспонированной исходной матрицы.

Пусть дана исходная матрица

1	2	3	4
3	4	5	1
1	3	4	2
4	2	4	1

Определитель матрицы равен –24

Тогда транспонированная матрица будет иметь вид

1	3	1	4
2	4	3	2
3	5	4	4
4	1	2	1

Для каждого элемента матрицы получим миноры

4	3	2		2	3	2		2	4	2		2	4	3
5	4	4		3	4	4		3	5	4		3	5	4
1	2	1		4	2	1		4	1	1		4	1	2
3	1	4		1	1	4		1	3	4		1	3	1
3	5	4		3	4	4		3	5	4		3	5	4
4	1	2		4	2	1		4	1	1		4	1	2
3	1	4		1	1	4		1	3	4		1	3	1
4	3	2		2	3	2		2	4	2		2	4	3
1	2	1		4	2	1		4	1	1		4	1	2
3	1	4		1	1	4		1	3	4		1	3	1
4	3	2		2	3	2		2	4	2		2	4	3
5	4	4		3	4	4		3	5	4		3	5	4

Вычислив определители с учетом знака получим

-7	-11	20	-1
-40	31	-28	-19
15	27	-36	-15
10	2	-8	-2

Если разделить каждый элемент матрицы на определитель исходной матрицы, получим обратную матрицу

0,291667	0,458333	-0,83333	0,041667
1,666667	-1,29167	1,166667	0,791667
-0,625	-1,125	1,5	0,625
-0,41667	-0,08333	0,333333	0,083333

3. Блочный метод

С помощью блочно представления матриц можно найти матрцу обратную к заданной. Пусть дана квадрнатная матрица размерности n × n

A B

Z =

C D

где А матрица р × р , а D - q×q , причем p +q=n ,C - q ×p , B p ×q

Тогда можно найти обрабтную матрицу

F G

Z^-1 =

H K

где F матрица р × р , а K - q×q , причем p +q=n,H - q ×p , G p ×q

Если det(A)≠0 тогда

K=(D-CA^-1B) ^-1

H=-KCA^-1

G=-A^-1BK

F=A^-1-A^-1BH

Определитель

A B

det(Z) =det =det(A)*det(D-CA^-1B)

C D

Если det(D)≠0 тогда

F=(A-BD^-1C) ^-1

G=-FBD^-1

H=-D^-1CF

K=D^-1-D^-1CG

A B

det(Z) =det =det(D)*det(A-BD^-1C)

C D

Пример

Вариант			1				Ответ
1	2	3	4				0,292	0,458		-0,83	0,042
3	4	5	1				0,458	1,292		-1,17	-0,79
1	3	4	2				-0,63	-1,13		1,5	0,625
4	2	4	1				0,417	0,083		-0,33	-0,08
Вариант			2				Ответ
3	2	3	4				0	1E-16		-0,33	0,333
3	4	5	2				1	5		-3,33	-3,67
1	3	4	2				-1	-4		3	3
4	3	4	2				0,5	0,5		-0,33	-0,67
Вариант			3				Ответ
3	2	3	4				0,176	0,294		-0,53	0,029
3	4	5	1				0,529	0,882		-0,59	-0,91
1	3	4	2				-0,59	-0,65		0,765	0,735
4	2	4	2				0,294	-0,18		0,118	-0,12
Вариант			4				Ответ
3	2	3	1				1,5	-0,5		-0	-0,5
3	4	5	1				6	-2		1	-3
0	3	4	2				-6,5	2,5		-1	3
4	2	4	2				4	-2		1	-1,5
Вариант			5				Ответ
3	2	3	4				0,107	-0,18		-0,21	0,357
3	4	5	4				-0,32	0,536		-0,36	-0,07
1	1	4	2				-0,18	-0,04		0,357	0,071
4	2	4	2				0,464	-0,11		0,071	-0,29
Вариант			6				Ответ
1	2	3	4				-0,03	0,147		-0,21	0,2
3	2	5	1				-0,35	-0,38		0,684	0,2
1	3	4	2				0,084	0,274		-0,11	-0,2
4	2	1	2				0,368	-0,05		-0,21	-0
Вариант			7				Ответ
3	2	3	4				0,545	0,364		-0,82	-0,05
1	4	5	1				1,545	1,364		-1,82	-1,05
1	3	4	3				-1,36	-0,91		1,545	0,864
4	2	4	2				0,091	-0,27		0,364	-0,09
Вариант			8				Ответ
3	2	3	4				2E-16		4E-16	-0,33	0,333
3	4	5	1				6		10	-6,67	-10,3
1	3	4	2				-5		-8	5,667	8,333
4	3	4	2				1		1	-0,67	-1,33
Вариант			9				Ответ
3	2	3	4				0	0,1		-0,3	0,25
3	4	2	1				0	0,3		0,1	-0,25
1	3	4	2				-0,2	-0,22		0,26	0,25
4	2	4	2				0,4	-0,06		-0,02	-0,25
Вариант			10				Ответ
3	2	3	4				0	-0		-0,33	0,333
3	4	5	1				0,333	0,556		-0,37	-0,57
1	2	4	2				-0,33	-0,22		0,481	0,296
4	2	4	2				0,333	-0,11		0,074	-0,19
Вариант			11				Ответ
3	2	3	4				-0,55	-0,5		0,409	0,932
3	4	5	1				-0,27	0		0,455	0,091
1	3	1	2				0,455	0,5		-0,59	-0,57
4	2	4	2				0,455	0		-0,09	-0,32
Вариант			12				Ответ
3	2	3	4				0,22	0,341		-0,59	-0,02
3	4	5	1				-0,8	-0,59		1,146	0,756
1	3	4	2				0,488	0,537		-0,63	-0,61
4	2	1	2				0,122	-0,37		0,341	0,098