Практика_3 Кожин Численные

Метод Холецкого

Для симметричных положительно определенных матриц справедливо

A=GG^T

где G- нижняя треугольная матрица с положительными элементами.

Можно выполнить LU разложение методом Холецкого

Другие диагональные элементы рассчитываются как

Недиагональные элементы рассчитываются

Для матрицы А разложение Холецкого будет иметь вид

16	8	12	16
8	29	-4	43
12	-4	77	-18
16	43	-18	169
4
2
3
4
4
2	5
3	-2
4	7
4
2	5
3	-2	8
4	7	-2
4
2	5
3	-2	8
4	7	-2	10

Метод Гаусса

Метод Гаусса -1 -0,4 -0,6 -0,8 -5,2 * -1 -0,4 -1 -0,8 -0,2 -1,6 -0,6 -0,6 -1 -0,4 -4 -0,2 -0,4 -0,4 -1 -4,6 1 0,4 0,6 0,8 5,2 * 0,4 * 0,6 * 0,2 0 -0,84 -0,56 0,12 0,48 + 0 -0,36 -0,64 0,08 -0,88 + 0 -0,32 -0,28 -0,84 -3,56 + 1 0,4 0,6 0,8 5,2 0 -0,84 -0,56 0,12 0,48 / -0,84 0 -0,36 -0,64 0,08 -0,88 0 -0,32 -0,28 -0,84 -3,56 1 0,4 0,6 0,8 5,2 0 1 0,666667 -0,14286 -0,571429 * 0,36 * 0,32 0 0 -0,4 0,028571 -1,085714 + 0 0 -0,06667 -0,88571 0 -3,742857 + 1 0,4 0,6 0,8 5,2 0 1 0,666667 -0,14286 -0,571429 0 0 -0,4 0,028571 -1,085714 / -0,4 0 0 -0,06667 -0,88571 -3,742857 1 0,4 0,6 0,8 5,2 0 1 0,666667 -0,14286 -0,571429 0 0 1 -0,07143 2,7142857 * 0,0667 0 0 -0,06667 -0,88571 -3,742857 + 1 0,4 0,6 0,8 5,2 0 1 0,666667 -0,14286 -0,571429 0 0 1 -0,07143 2,7142857 0 0 0 -0,88571 -3,742857 0,801075 -1,97849 3,016129 4,225806

Неточность определяется ошибкой округления

Решение системы уравнений с использованием LU матриц

AX=B так как LU=А, то LUX=B. Если принять UX=Y , то LY=B

=>

Решаем

LY=B

находим Y, затем

UX=Y

находим Х

или

AX=B домножим слева на М = -L (диагональные элемента 1)

МAX=МB с учетом, что

МА=U

получаем UX=MB

Пример

для матрицы

-1	-0,4	-0,6	-0,8
-0,4	-1	-0,8	-0,2
-0,6	-0,6	-1	-0,4
-0,2	-0,4	-0,4	-1