Расчет системы электропривода

Дифференциальное уравнение, описывающее динамику системы имеет вид:

где J – момент инерции магнитной головки, K – коэффициент жесткости пружины, K­­_i – моментный коэффициент двигателя, θ – угловое положение головки, i – ток якоря.

Применив к дифференциальному уравнению преобразование Лапласа, найдем передаточную функцию от управляющей переменной i к выходной переменной θ:

Используя далее числовые значения J = 0.02 кг*м², C = 0.006 Н*м/(рад/с), K = 10 Н*м/рад, K_i = 0.07 Н*м/А, сформируем следующую tf-модель: >> J=0.02; C=0.006; K=10; Ki=0.07;

>> num=Ki;

>> den=[J C K];

>> W=tf(num,den)

Transfer function:

0.07

-----------------------

0.02 s^2 + 0.006 s + 10

Синтез корректирующего устройства

Для того, чтобы произвести синтез корректирующего устройства необходимо перейти от непрерывной модели объекта к дискретной, с использованием интервала дискретности 0.006 секунд и экстраполятором нулевого значения:

>> Ts=0.006;

>> Wd=c2d(W,Ts,'zoh')

Transfer function:

6.287e-005 z + 6.283e-005

-------------------------

z^2 - 1.98 z + 0.9982

Sampling time: 0.006

Для проверки качества выполненной аппроксимации необходимо сравнить частотные характеристики исходной непрерывной и полученной дискретной модели:

>> bode(W,'-',Wd,'--')

Далее построим переходной процесс для дискретной системы:

>>step(Wd)

Проанализировав график переходного процесса в дискретной системе, можно сделать вывод, что в системе присутствует ярко выраженная колебательность, причиной которой является слабое демпфирование. В этом можно убедиться, вычислив полюсы дискретной модели: >> %Полюсы дискретной модели

>> damp(Wd)

Eigenvalue Magnitude Equiv. Damping Equiv. Freq. (rad/s)

9.90e-001 + 1.34e-001i 9.99e-001 6.71e-003 2.24e+001

9.90e-001 - 1.34e-001i 9.99e-001 6.71e-003 2.24e+001

Полюсы расположены в близи единичной окружности и имеют малое демпфирование.

Данный результат позволяет конкретизировать задачу проектирования: необходимо рассчитать регулятор, который увеличит демпфирования данных полюсов. Наиболее простой вариант решения этой задачи подбор коэффициента усиления системы, который можно осуществить с помощью метода корневого годографа:

>> rlocus(Wd), zgrid

Проанализировав корневой годограф, можно сказать, что с увеличением коэффициента усиления полюсы замкнутой системы быстро выходят за пределы единичной окружности и система становится неустойчивой. Поэтому введем некоторую динамическую коррекцию в виде дискретного компенсатора с передаточной функцией:

где , ,

Далее формируется разомкнутая модель контура как последовательное соединение моделей объекта и компенсатора:

>> D=zpk(0.85,0,1,Ts) %Формирование модели компенсатора

Zero/pole/gain:

(z-0.85)

-------- z

Sampling time: 0.006

>> oloop=Wd*D %Формирование разомкнутого контура

Zero/pole/gain:

6.2868e-005 (z+0.9994) (z-0.85)

-------------------------------

z (z^2 - 1.98z + 0.9982)

Sampling time: 0.006

Далее можно определить, как компенсатор модифицирует ЛЧХ магнитной головки:

>> bode(Wd,'--',oloop,'-')

На Рис. 5 частотная характеристика магнитной головки показана пунктирной линией, а частотная характеристика контура с компенсатором – сплошной линией.

Из анализа характеристик следует, что компенсатор сдвигает фазовую характеристику вверх (вводит опережение) в диапазоне частот от 10 до 980 рад/с.

Теперь необходимо построить корневой годограф для контура с компенсатором:

>> rlocus(oloop), zgrid

Теперь полюсы остаются внутри единичной окружности для большего диапозона значений коэффициента усиления.

Далее необходимо указать оптимальное, на ваш взгляд, расположение полюсов, для этого необходимо воспользоваться функцией rlockfind: >> [k,poles]=rlocfind(oloop)

Select a point in the graphics window

selected_point =

0.5889 + 0.0039i

k =

4.0395e+003

poles =

0.5687 + 0.2072i

0.5687 - 0.2072i

0.5888

Определим демпфирование замкунтой системы:

>> ddamp(poles,Ts)

Eigenvalue Magnitude Equiv. Damping Equiv. Freq. (rad/s)

5.69e-001 + 2.07e-001i 6.05e-001 8.21e-001 1.02e+002

5.69e-001 - 2.07e-001i 6.05e-001 8.21e-001 1.02e+002

5.89e-001 5.89e-001 1.00e+000 8.83e+001

Чтобы оценить результаты синтеза , сформируем замкнутую систему и построим для нее переходную функцию:

>> cloop=feedback(oloop,k)

Zero/pole/gain:

6.2868e-005 (z+0.9994) (z-0.85)

----------------------------------

(z-0.5888) (z^2 - 1.137z + 0.3664)

Sampling time: 0.006

>> step(cloop)

Полученный переходной процесс имеет время установления около 16 периодов дискретизации, то есть 0.09 секунд.

Оценим работоспособность полученной системы. Класическими критериями работоспособности являются запасы устойчиовсти по фазе и амплитуде. Для их орпеделеня воспользуемся функцией margin, предварительно учтя найденное с помощью фукции rlocfind значение k:

>> olk=k*oloop;

>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(olk);

>> Margins=[Gm Wcg Pm Wcp]

Margins =

3.8463 247.3058 43.5555 86.0925

>> margin(olk)

Рассмотренная система является работоспособной, поскольку имеет запас устойчивости по амплитуде равный 11.7 Дб и запас устойчивости по фазе равный 43.6°.