Лабораторная работа № 1 по курсу ТВП

10

Министерство образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

СТОХАСТИЧЕСКИЕ СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Методические указания по выполнению лабораторной

работы по курсу «Теория вычислительных процессов

и структур» для студентов специальности ПВС.

Составил доцент кафедры ПВС Сайкин А.И.

Саратов, 2001 г.

1. Введение.

Данная лабораторная работа рассчитана на 6 аудиторных часов и ещё 6 часов самостоятельной работы по изучению литературы, проведение эксперимента и составление отчёта. Областью исследования являются стохастические сетевые модели с экспоненциальным распределением времени обслуживания, замкнутые и разомкнутые. Целью исследования является нахождения в заданной сети «узких мест», исследование поведения сети при наличии в ней «узкого места» и нахождении условия размыкания замкнутой сети. Методика основывается на использовании готового программного обеспечения для расчёта характеристик разомкнутых и замкнутых сетевых моделей и сочетании результатов, полученных на ЭВМ, с их аналитическим анализом студентом.

2. Содержание работы.

Вычислительные процессы развиваются в вычислительных системах, которые привносят в них свою специфику. Поэтому необходим анализ протекания вычислительного процесса в вычислительной системе. Для анализа вычислительного процесса используются стохастические сетевые модели, которые представляют собой сети взаимосвязанных систем массового обслуживания (СМО). В соответствии с концептуальной моделью СМО, образующие сеть, представляют собой ресурсы вычислительной системы, которые необходимы для выполнения заданных программ, а сами программы, которые вырабатывают запросы к ресурсам вычислительной системы, представляются заявками на обслуживание. Таким образом, процесс выполнения программ в вычислительной системе сводится к процессу массового обслуживания во многих СМО, образующих сеть (узлах сети).

Сети делятся на линейные и нелинейные, разомкнутые и замкнутые, экспоненциальные и неэкспоненциальные.

В линейных сетях программы пользователей не теряются и не тиражируются, благодаря этому в линейных сетях всегда можно аналитически определить интенсивности потоков заявок, обслуживающихся в сети. В нелиненых сетях возможны потери заявок и их тиражирование в отдельных узлах сети.

В разомкнутых сетях есть источник заявок бесконечной ёмкости, который отображает внешнюю по отношению к вычислительной системе среду. Это может быть совокупностью всех потенциальных пользователей вычислительной системы. Благодаря наличию источника в разомкнутой сети обслуживается переменное число заявок, например, в дисплейном классе в разное время могут быть занято разное количество машин. В замкнутой сети всегда обслуживается постоянное число заявок. Например, при наличии очереди в дисплейный класс, все машины будут постоянно заняты.

В экспоненциальных сетях все времена обслуживаний распределены по экспоненциальному закону, что позволяет рассчитывать характеристики сетей аналитически по формулам. Для неэкспоненциальных сетей время обслуживания распределено по произвольному закону и их характеристики оцениваются приближённо.

Сетевые модели позволяют оценить трудоёмкость алгоритмов, имеющих разветвлённую структуры, петли и циклы. Они также позволяют оценить производительность вычислительных систем и качество обслуживания в них, т.е. время ожидания в очередях, время реакции системы на запрос пользователя и т.д.

В данной работе предлагается исследовать поведение сетей при наличии в них «узкого места». Узкое место это наиболее загруженный узел сети, который определяет интенсивности потоков заявок для остальной части сети, поскольку интенсивность исходящего из него потока заявок ограничена заданной интенсивностью обслуживания в нём. Влияние «узкого места» в разомкнутых и замкнутых сетях различно.

Для разомкнутых сетей «узкое место» приводит к перегрузке узла сети и потери стационарного режима для сети в целом.

Для замкнутых сетей перегрузка не возможна, и поэтому «узкое место» только ограничивает производительность сети.

В замкнутых сетях наблюдается эффект размыкания сети по наиболее загруженному узлу при постоянном увеличении числа заявок, обслуживающихся в сети. При этом наиболее загруженный узел превращается в источник заявок бесконечной ёмкости, и сеть становится разомкнутой. Коэффициент загрузки такого узла стремится к единице.

3. Задание по работе.

1. Получить вариант задания у преподавателя.

2. Составить программы вычисления характеристик замкнутых и

разомкнутых экспоненциальных сетей СМО для случая 9-10 узлов.

3. По согласованию с преподавателем, задать интенсивности обслужи-

вания в узлах сети, таким образом, чтобы появился наиболее загру-

женный узел.

4. Исследовать поведение характеристик сети: среднее число заявок в

сети и среднее время пребывания в сети при наличии «узкого места».

При увеличении интенсивности входного потока для разомкнутой сети

и при увеличении числа заявок, обслуживающихся в замкнутой сети.

5. Найти условие размыкания для замкнутой сети.

6. Составить отчёт по работе.

4. Варианты заданий.

В каждом варианте задания рассматриваются сети размерностью в 10 для замкнутых и 9 для разомкнутых сетей. Конфигурация сети выбирается студентом, но она должна быть разветвлённой. Интенсивности обслуживания выбираются студентом, но так, чтобы был в сети наиболее загруженный узел. Окончательно конфигурация сети согласуется с преподавателем.

5. Методические указания.

В разомкнутой сети наибольшую сложность представляет расчёт интенсивностей потоков заявок в зависимости от конфигурации сети, которая описывается матрицей передач. Для решения линейной алгебраической системы рекомендуется применить алгоритм Гаусса. Прочие расчёты характеристик разомкнутой сети затруднений не вызывают.

Пусть для примера нам задана следующая разомкнутая экспоненциальная сеть (см. рис.1).

2

1

И

3

4

5

Рис 1. Разомкнутая экспоненциальная сеть.

Конфигурация стохастической сети задаётся матрицей передач Р, которая представляет собой единожды стохастическую матрицы размером (1+N)*(1+N), где N число СМО сети. В разомкнутую сеть обязательно входит источник заявок И, который полагается бесконечной ёмкости. Матрица передач Р имеет вид:

Р_ии Р_и1 Р_и2 . . . Р_иN

Р_1и Р₁₁ Р₁₂ . . . Р_1N

Р = . . . . . . . . . . . . . . .

Р_Nи Р_N1 Р_N2 . . . Р_NN

Элемент матрицы Р_ij означает вероятность передачи заявки из узла i в узел j сети. Сумма вероятностей в каждой строке строго равна 1. Это служит проверкой правильности ввода исходных данных.

5.1. Расчёт характеристик разомкнутой сети.

Расчёт характеристик разомкнутой сети производится в следующем порядке.

1. В начале рассчитываются интенсивности потоков заявок λ, действующих в разомкнутой сети. Для чего необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений

_N

λj = Σ Pij * λi, (j=1,2,... N) (5.1)

ⁱ⁼¹

Система (5.1) всегда имеет единственное решение, если задана интенсивность источника заявок. Решение системы (5.1) является наиболее трудоёмкой задачей, особенно для сетей большой размерности. В данной лабораторной работе целесообразно для нахождения λ применить алгоритм Гаусса.

2. На втором этапе необходимо найти коэффициенты загрузок ρ всех СМО сети, которые находятся по простой формуле:

ρ_j = λ_j /μ_{j ,} (j=1,...,N) (5.2)

где μ_j - интенсивность обслуживания в СМО j.

Все коэффициенты загрузок должны быть обязательно меньше 1. В противном случае разомкнутая сеть не будет иметь характеристик стационарного режима, так как для СМО с коэффициентом загрузки большим 1 очередь заявок устремится в бесконечность. Поэтому при расчёте необходимо проверять все значения коэффициентов загрузок и сообщать пользователю, если условие не выполнено. Если стационарный режим существует, то рассчитываются его следующие характеристики.

3. Среднее число заявок в СМО j:

m_j = ρ_j /(1-ρ_j) (5.3)

4. Средняя длина очереди к СМО j:

L_j = ρ²/(1- ρ_j) (5.4)

5. Среднее время ожидания в очереди к СМО j:

W_j = L_j / λ _j (5.5)

6. Среднее время пребывания в СМО j:

U_j = W_j + 1/μ_j (5.6)

Разомкнутая сеть имеет в стационарном режиме кроме характеристик отдельных СМО ещё характеристики сети в целом.

Это суммарное среднее число заявок, одновремённо находящееся в сети:

М_с = Σ m _j (5.7)

Это суммарная средняя длина всех очередей в сети:

L_c = Σ L_j (5.8).

Среднее время ожидания во всех очередях сети:

W_c = Σ α_jW_j (5.9),

где α_j - коэффициент передачи, показывающий сколько раз в среднем заявка побывает в СМО j, прежде чем вернётся в источник.

Коэффициент передачи находится как отношение интенсивностей потоков:

α_j = λ_j/λ_и (5.10).

Среднее время пребывания в разомкнутой сети:

U_c = Σ α_jU_j (5.11).

5.2. Расчёт характеристик замкнутой сети СМО.

Расчёт замкнутых сетей значительно сложнее. Поскольку система уравнений (5.1) в этом случае приобретает множество решений и интенсивности потоков заявок в сети найти, непосредственно не удаётся.

Наиболее наглядным способом расчёта характеристик является параметрический способ, но он очень громоздок и поэтому применяется относительно редко. Наиболее эффективно можно рассчитать замкнутую сеть через определение маргинальных распределений с помощью нормирующих множителей, что и будет рассмотрено в данной лабораторной работе.

2

3

4

5

1

Рис.2. Замкнутая экспоненциальная сеть.

Маргинальное распределение - это распределение числа заявок в отдельной СМО сети. Зная его, можно вычислить и все прочие характеристики сети.

Маргинальное распределение P_j(m) в узле j определяется как

P_j (m) = ρ^m _j G(N-j, M-m)/G(N, M) (5.12)

где: ρ - условный коэффициент загрузки СМО j,

G(N-j, M-m) - нормирующий множитель для сетевой модели, в которой отсутствует СМО j и обслуживается M-m заявок,

G(N, M) - нормирующий множитель для сети, содержащей N СМО и обслуживающей M заявок.

5.2.1. Вычисление нормирующего множителя.

Для вычисления нормирующего множителя известно несколько принципиально различных способов. Рассмотрим наиболее эффективный, основанный на двухпараметрической рекурсии.

Формула двухпараметрической рекурсии имеет вид:

G(N, M) = G(N-j, M) + ρ_j*G(N, M-1) (5.13)

Чтобы воспользоваться этой двухпараметрической рекурсивной формулой, необходимо заполнить таблицу значений различных нормирующих множителей меньшего порядка.

Таблица 1. Схема вычисления нормирующего множителя.

G(N,1)	G(N,2)	G(N,3)	. . .	G(N,M)
G(N-1,1)	G(N-1,2)	G(N-1,3)	. . .	G(N-1,M)
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
G(2,1)	G(2,2)	G(2,3)	. . .	G(2,M)
G(1,1)	G(1,2)	G(1,3)	. . .	G(1,M)

Таблица 1 состоит из нормирующих множителей меньшей размерности, чем заданный нормирующий множитель G(N,M). Левый столбец и нижняя строка таблицы образованы краевыми значениями нормирующих множителей.

Для вычисления краевых значений рекурсивная формула не требуется.

Так,

G(N, 1) =Σ ρ_{j ,} (5.14)

и

G(1, M) = ρ^M (5.15)

Краевые значения позволяют применить формулу двух параметрической рекурсии сначала для вычисления второй снизу строки, а затем и всех прочих строк. Таким образом, для вычисления нормирующего множителя необходимо всякий раз вычислять всю таблицу 1 целиком.

При нахождении нормирующих множителей используется всякий раз условное значение коэффициента загрузки, которое находится как отношение

ρ = λ/μ. (5.16)

Значения λ находятся из системы (5.1) при условии λ₁ =1.

Безусловные значения коэффициентов загрузок находятся на основании вероятностного свойства коэффициента загрузки : коэффициент загрузки - это вероятность наличия хотя бы одной заявки в СМО. Поэтому, вычислив маргинальные распределения P_j (m), мы находим истинные значения коэффициентов загрузок как сумму вероятностей:

ρ_j = Σ P_j(m) (5.17)

^(m≠0)

Вычислив все безусловные коэффициенты загрузок, убеждаемся, что в замкнутой сети они всегда меньше единицы. Теперь можно вычислить истинное значение интенсивностей потоков заявок, действующих в замкнутой сети из уравнения расхода:

λ_j = ρ_j*μ_j (5.18)

Здесь возможно выполнение проверки. Найденные значения интенсивностей потоков заявок, должны удовлетворять системе (5.1).

Среднее число заявок в СМО находится из маргинального распределения как математическое ожидание:

_M

m_j = Σm P_j(m) (5.19)

^(m=1)

Здесь также возможно выполнение проверки: сумма всех средних значений m должна быть равна заданному числу заявок в замкнутой сети.

Средняя длина очереди находится из простого соотношения:

L_j = m_j - ρ_j (5.20)

Среднее время пребывания и среднее время ожидания находятся аналогично как и в разомкнутой сети по формулам (5.5-6).

При определении сетевых характеристик, следует иметь в виду, что коэффициенты передач в замкнутой сети имеют несколько другой смысл. А именно, они показывают сколько раз заявка побывает в СМО j прежде, чем она вернётся в СМО 1, которая является точкой отсчёта. В силу произвола нумерации СМО, значения коэффициентов передач в замкнутой сети относительны и вычисляются по формуле:

α_j = λ_j /λ₁ (5.21)

Во всём остальном сетевые характеристики рассчитываются аналогично расчёту сетевых характеристик для разомкнутой сети.

При расчёте характеристик замкнутой сети необходимо воспользоваться подпрограммой решения линейной системы алгебраических уравнений, полученной при расчёте характеристик разомкнутой сети. В дальнейшем рекомендуется применить двух параметрический алгоритм и рассчитать сразу же маргинальные распределения через нормирующие множители. Маргинальные распределения позволят легко найти и все прочие характеристики замкнутой сети.

6. Содержание отчёта.

Отчёт по работе составляется каждым студентом. Он должен содержать титульный лист, вариант задания и развёрнутые ответы на все пункты задания. К отчёту необходимо приложить работающую программу и контрольные примеры.

7. Контрольные вопросы.

1. Что такое СМО?

2. Что такое стохастическая сеть?

3. Чем характеризуется простейший поток заявок?

4. Как классифицируются сети?

5. Чем разомкнутая сеть отличается от замкнутой сети?

6. Что такое «узкое место»?

7. В чём условие размыкания замкнутой сети?

8. К чему приводит перегрузка узла в разомкнутой сети?

9. К чему приводит наличие «узкого места» в замкнутой сети?

8. Литература.

1. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание, теория и применение.-М.: Мир, 1965, -387 с.

2. Венцель Е.С. Исследование операций. -М.: Советское радио, 1972,

-552 с.

3. Альнах И.Н. Моделирование вычислительных систем.-Л.: Машиностроение, 1988, -223 с.