§ 14. Классификация бесконечно малых

def. Функция называется бесконечно малой при , если (или ).

Сравним бесконечно малые и при .

Таблица 1.

Предел отношения б.м. и при	Название, обозначение	Примеры
	, бесконечно малые одного порядка	,
	, эквивалентные б. м.	,
	бесконечно малая более высокого порядка малости, чем б. м.	,
	бесконечно малая более низкого порядка малости, чем б. м.	,

Замечание. Если не существует, то б. м. и не сравнимы между собой. Например, и .

Теорема 1. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая болеe высокого порядка малости, чем каждый из сомножителей.

Доказательство.

и при .

Аналогично, .

Теорема 2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых и есть малая более высокого порядка малости, чем и чем .

Без доказательства.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

1. 

2. 

3. 

4. где б. м. при

5. 

6. 

7. 

Свойства

1. Предел отношения двух б. м. не изменится, если каждую или только одну заменить эквивалентной бесконечно малой.

где

2. Если , то .

3. Алгебраическая сумм бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому более низкого порядка малости.

_{Пример.} т. к.

20