Лекция №12
Глава V. Введение в математический анализ
§ 1. Понятие функции. Способы задания функции. Обратная функция
Определение. Пусть даны два непустых множества D и E.
def.
Если каждому элементу
по определенному правилу (закону) f
ставится в соответствие единственный
элемент
,
то говорят, что на множестве D
задана функция
Если D
и E – числовые множества
то
числовая функция.
Принята следующая терминология:
x – независимая переменная или аргумент;
y – зависимая переменная;
D – область определения функции;
Е – множество значений функции.
Если каждому элементу соответствует не одно, а несколько значений , то получим многозначную функцию (не рассматриваем).
Под функцией будем понимать однозначную числовую функцию.
При конкретном значении аргумента
получим частное значение функции
или
.
Способы задания функции
Аналитический. Явное и неявное задание функции
Функция задается аналитическим выражением, т.е. формулой.
Пример 1.1. а)
б)
Нельзя отождествлять функцию и формулу: с помощью одной формулы можно задать различные функции (указывая различные области определения), и наоборот, одна функция может быть задана несколькими формулами.
явное задание функции.
Пример 1.2.
неявное задание функции.
Пример 1.3.
а)
б)
(здесь можно перейти к явному).
Преимущества: удобно изучать свойства. Недостатки: малая наглядность.
Табличный
В таблице указывается в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции.
x |
x1 |
x2 |
… |
xn |
y |
y1 |
y2 |
… |
yn |
Пример 1.4. Таблицы тригонометрических функций. Преимущества: Без вычислений находятся соответствующие значения функции.
Недостатки: не можем получить значений y, не указанных в таблице.
Графический
Функция представляется графиком.
Пример 1.5. Графики, полученные с помощью самопишущих приборов, например, электрокардиограмма (кривая изменения электрических импульсов сердечной мышцы, вычерчиваемая электрокардиографом); барограммы (кривые зависимости между давлением и временем в метеорологии).
Преимущества: наглядность.
Недостатки: неточность, неудобен при применении математического аппарата.
Программный
Функция задается с помощью указания программы на одном из машинных языков.
Обратная функция
Функция
является отображением
.
Рассмотрим взаимно однозначное отображение (взаимно однозначную функцию).
взаимно однозначная функция.
ед.
и обратно,
ед.
).
Пример 1.6.
а)
-
взаимно однозначная функция
(отображение)
б)
не является взаимно однозначной.
Пусть
(
)
– взаимно однозначное отображение.
Значит,
ставится в соответствие ед.
.
Тогда говорят, что на множестве Е
определена функция, обратная функции
,
которая обозначается
Теорема.
Если
монотонная функция (возрастает или
убывает), то существует обратная функция
.
При этом, если f –
возрастающая, то f
-1 – возрастающая; если f
– убывающая, то и f--1
– убывающая.
Методика построения графика обратной функции
1) монотонная на D(f).
2) Решаем относительно x, т.е. находим (по существу и выражают одну и ту же зависимость, графики совпадают).
3) Переобозначаем
переменные, т.е.
- обратная функция.
4
)
График
симметричен графику
относительно биссектрисы первого
координатного угла.
Пример 1.7.
возраcтает
на D=R;
обратная
функция.
Основные элементарные функции. Самостоятельно. Графики функций:
постоянная y = c;
степенная
а)
б)
в)
г)
показательная
.
а)
б)
логарифмические:
тригонометрические:
обратные тригонометрические функции:
|
|
|
|
