Математическая обработка результатов измерений Математическая обработка ряда равноточных измерений

Цель работы. Практическое усвоение формул обработки равноточных измерений одной величины, усвоение методов определения наиболее точного и достоверного значения измеренной величины, методов доверительного оценивания.

Состав задачи. В результате повторных равноточных измерений величины Х получен ряд результатов:

х₁, х₂, ............х_n,

с одинаковыми средними квадратическими ошибками:

m₁ = m₂ = .......= m_n = m.

Исходные данные: Вариант получают моделированием в программе MATRIX.exe., преподаватель задает доверительную вероятность β.

Задание:По результатам измерений надо вычислить:

- наиболее достоверное значение измеренной величины;

- определить средние квадратические ошибки (далее ско) одного измерения и среднего арифметического,

- определить необходимую точность их определения.

-выполнить доверительное оценивание при заданной доверительной вероятности β:

а) математического ожидания измеренной величины,

б) среднего квадратического отклонения одного измерения;

в) среднего квадратического отклонения среднего арифметического при .

Порядок выполнения задания.

1. Определяется наиболее достоверное значение из ряда равноточных измерений. Это среднее арифметическое, которое вычисляется по формуле

, (1.1)

где – сумма измеренных значений, - число измерений.

Вместо формулы (1.1) используют более удобную формулу

. (1.2)

Для этого из приведенного ряда измерений выбирают условное (обычно кратное десяти наименьшее) значение x₀ и вычисляют величину ε_і по формуле

, (1.3)

где – измеренное значение.

Чтобы не накапливать ошибки округления, среднее вычисляют с числом десятичных знаков хотя бы на один больше, чем в измеренных значениях .

2.Вычисляют отклонение результатов измерений от среднего значения

(1.4)

и выполняют 1 контроль

(1.5)

где предельная ошибка округления, равная 0,5 единицы последнего удерживаемого знака.

3.Вычисляют с контролем (2 контроль)

(1.6)

4. Определяют средние квадратические ошибки:

а) среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения по формуле Бесселя

; (1.7)

б) среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического

; (1.8)

5. Для определения необходимой точности вычисления ско получают среднюю квадратическую ошибку средней квадратичной ошибки

; (1.9)

и среднюю квадратическую ошибку средней квадратичной ошибки среднего арифметического

. (1.10)

Делают вывод о необходимой точности вычисления ско.

6.Определяют доверительные интервалы для:

а) математического ожидания измерения

( 1.11 )

где параметр t_β выбирают из таблиц распределения Сьюдента (например, приложение V в [ 1 ] или приложения (2)) по заданной доверительной вероятности β и числу степеней свободы k = n – 1;

б) среднего квадратического отклонения отдельного измерения

(1.12)

в) среднего квадратического отклонения среднего арифметического

(1.13)

где m и М средние квадратические ошибки, вычисленные по формулам (1.7) и (1.8). Коэффициенты и выбирают из таблиц (приложение VIII в [ l ] или приложение (3) ) по числу степеней свободы и по выбранной доверительной вероятности β .

Пример. Для исследования нового теодолита выполнено измерение угла 12 раз. По результатам измерений выполнить обработку ряда равноточных измерений. Доверительные оценки получить с вероятностью 0,95.

Вычисления выполним в таблице 1.1.

Таблица 1.1

№ измерения.	Измеренный угол α	ε, сек.	v, сек.	ε2,сек.2	v2, сек.2	Контрольные вычисления
1	154039'34,3»	4,3	-0,64	18,49	0,4096
2	154039'33,6»	3,6	-1,34	12,96	1,7956	1 контроль
3	154039'37,7»	7,7	2,76	59,29	7,6176	0,02 ≤ 0,06
4	154039'33,2»	3,2	-1,74	10,24	3,0276	2 контроль
5	154039'33,4»	3,4	-1,54	11,56	2,3716	23,509 = 23,509
6	154039'34,3»	4,3	-0,64	18,49	0,4096
7	154039'35,3»	5,3	0,36	28,09	0,1296
8	154039'34,5	4,5	-0,44	20,25	0,1936
9	154039'36,3»	6,3	1,36	39,69	1,8496
10	154039'34,6»	4,6	-0,34	21,16	0,1156
11	154039'37,3»	7,3	2,36	53,29	5,5696
12	154039'34,8»	4,8	-0,14	23,04	0,0196
Σ		59,3	0,02	316,55	23,509

Выбираем наименьшее значение х₀ = 154⁰39^'30^'',0

По формулам (1.2 – 1.10) вычисляем:

среднее арифметическое

среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения по формуле Бесселя

,

среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического

Определить необходимую точность определения ско для чего вычисляем среднюю квадратическую ошибку средней квадратической ошибки

и среднюю квадратическую ошибку средней квадратической ошибки среднего арифметического

Сравним значения средних квадратических ошибок и , и их средних квадратических ошибок и . Из сравнения видно, что при вычислении средних квадратических ошибок достаточно оставлять две значащие цифры, при этом вторая цифра уже неточная.