Контрольная работа №2

1)Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение:

a) . Предел отношения многочленов и иррациональностей при равен пределу отношения старших по степени слагаемых.

b) .

c)

.

d)

e)Воспользуемся обобщённой формулой второго замечательного предела:

.

2) Исследовать функции на непрерывность. Классифицировать точки разрыва.

a) .

Решение:

Т.к. при знаменатель дроби обращается в ноль, то -есть точка разрыва данной функции. Найдём пределы при слева и справа.

, , следовательно -есть точка разрыва второго рода.

b)

Решение:

Функции , , – элементарные и в области определения непрерывны. Точки разрыва возможны в переходных от одного задания к другому точках, т.е. в точках и . Исследуем поведение функции в этих точках:

слева: справа: , тогда , т.е. функция непрерывна в точке

слева: справа: , тогда , т.е. функция имеет разрыв первого рода в точке , т.к. пределы конечны.

3) Найти производные первого порядка для следующих функций:

a)

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения производной частного:

b)

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения производной обратной функции:

c)

Решение:

Воспользуемся формулой логарифмического дифференцирования.

Найдём

По формуле для нахождения производной от произведения:

.

Следовательно .

d)

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения производной параметрически заданной функции: .

;

Тогда .

4) Найти уравнения касательной и нормали к графику функции

в точке x₀=-2.

Решение:

- уравнение касательной.

- уравнение нормали.

;

По формуле для нахождения производной частного:

; .

Тогда уравнение касательной: ;

Уравнение нормали: .

5) С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

Решение:

1) Области определения функции не принадлежит только точка х=0:

D(y)=(-¥;0)È(0;+¥).

2) функция общего вида (не чётная и не нечётная).

Функция не периодична потому, что её область определения не имеет периодической структуры.

3)Найдём точки пересечения графика с осями координат.

С осью Ox: у=0, , точка .

С осью Oy: при х=0 функция не существует точек пересечения с осью Oy нет.

4)Найдем асимптоты функции.

Вертикальные:

Исследуем функцию в окрестности точки разрыва х=0.

Левосторонний предел .

Правосторонний предел равен

-двусторонняя вертикальная асимптота.

Наклонные и горизонтальные:

y=х – прямая, которая служит наклонной асимптотой графика как при x®-¥, так и при x®+¥.

5) Найдем критические точки: х=-2.

Найдем интервалы монотонности (метод интервалов) и точки экстремума функции.

Интервалы монотонности: на интервале функция возрастает; на интервале функция убывает.

При х=-2- функция принимает максимальное значение точка максимума.

При х=0 – экстремума нет, так как в этой точке функция не определена.

6) Исследуем функцию на вогнутость, выпуклость и перегиб.

Найдём вторую производную .

Интервалы выпуклости, вогнутости: на интервале функция выпукла. Перегибов нет.

7) На рис.2 построена кривая, удовлетворяющая проведённому исследованию.

Рис. 2

6)Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Решение:

. Найдём критические точки:

не существует, если

Точка , .

Найдём .

Найдём значения функции на концах отрезка:

; .

Наибольшее значение на данном отрезке достигается функцией в двух точках – на концах отрезка: .

Наименьшее значение на данном отрезке достигается функцией во внутренней точке отрезка: .

7)Даны функция и точки A(1; 2), B(1,02; 1,97).

Вычислить

a) значение функции ;

b) с помощью дифференциала, заменяя приращение при переходе от A к B дифференциалом. Оценить в процентах относительную погрешность вычисления.

c) Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности ,заданной данной функцией в точке C (x₀, y₀, z₀).

Решение:

a) .

b) Воспользуемся формулой: .

; ; .

Найдем , , тогда , .

Следовательно, получим:

Оценим относительную погрешность вычисления: .

c) C (1; 2; 3)

Составим уравнение касательной плоскости :

Составим уравнение нормали: .

8) Даны функция , точка A(2;-1) и вектор . Требуется найти и производную в точке A по направлению вектора .

Решение:

; ; ;

Следовательно .

Найдём направляющие косинусы вектора :

; .

данная функция убывает в направлении вектора

9) Найти экстремум функции и ее наибольшее и наименьшее значения в области : .

Решение:

Найдем стационарные точки функции из системы: .

М(6; -8)- стационарная точка. .

точка М₀(6; -8) является точкой минимума функции.

Стационарная точка М₀ не лежит в заданном круге. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функция принимает на границе области, т.е. на окружности .

Составим функцию Лагранжа .

Ее стационарные точки найдем из системы , откуда . Следовательно, стационарными точками границы являются М₁(3, -4) и М₂(-3, 4). . Эти числа являются наименьшим и наибольшим значениями z в заданной области: ; .