Вариант 9. Контрольная работа №1 «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия»
1) Даны матрицы:
,
Найти
.
2) Дана матрица
.
Найти обратную к ней матрицу
3) Решить системы линейных уравнений методом Жордана – Гаусса:
а)
b)
4) Даны
векторы
.
a)Доказать, что вектора образуют базис и найти разложение вектора по этому базису.
b) Найти скалярное произведение векторов и .
c) Найти векторное произведение векторов и .
d) Найти смешанное произведение векторов .
5) Даны координаты вершин треугольника, A(8;2), B(-8;-10), C(-1;14). Найти:
a) длину стороны AB;
b) общие уравнения сторон AB и BC;
c) величину угла B;
d)длину и уравнение высоты, опущенной из вершины ;
e) площадь треугольника ;
f) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне .
6) Даны четыре точки A(-2,5;-1;-1), B(0,5;-2;1), C(-1,5;-3;-1), M(3;-3;-1). Найти:
a)уравнение плоскости , проходящей через три точки A, B, C;
b)каноническое уравнения прямой AB;
c)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины М на грань ;
d) объем пирамиды АВСМ.
7) Дано
уравнение кривой второго порядка:
.
Привести его к каноническому виду, определить вид кривой, указать её параметры (для эллипса и гиперболы – центр, вершины, полуоси, фокусы, а для гиперболы и асимптоты. Для параболы указать координаты вершины, координаты фокуса, величину параметра p, уравнение директрисы). Изобразить кривую на координатной плоскости.
Контрольная работа №2 «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»
1) Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
2)Исследовать функции на непрерывность. Классифицировать точки разрыва.
a)
;
b)
3) Найти производные для следующих функций:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
4) Найти уравнения
касательной и нормали к графику функции
в точке x0=1.
5) С помощью методов
дифференциального исчисления построить
график функции
.
6) Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
на отрезке
.
7) Даны функция
и точки A(1;3),
B(0,97;3,02).
Вычислить:
a)значение функции ;
b) с помощью дифференциала, заменяя приращение при переходе от A к B дифференциалом. Оценить в процентах относительную погрешность вычисления.
c) cоставить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке A.
8) Даны функция
,
точка М(1;-1;2) и вектор
.
Найти:
a) градиент данной функции в точке М;
b) производную функции в точке М по направлению вектора .
9) Дана функция
.
Найти:
a) экстремум данной функции;
b)
наибольшее и наименьшее значения функции
в области
,
ограниченной линиями:
Типовой разбор варианта контрольной работы
Контрольная работа №1
1)Даны матрицы:
,
,
.
Найти
Решение:
Матрица
А
имеет размерность
,
матрица В
размерность
.
Т.к. число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй матрицы, то данные
матрицы можно перемножить. В результате
получится некоторая матрица D,
имеющая размерность
.
Найдем элементы матрицы D:
;
;
;
;
;
;
;
.
Тогда
.
По правилу умножения
матрицы на число
Найдём
.
2)Дана
матрица:
.
Найти обратную к ней матрицу
Решение:
Вычислим определитель матрицы А методом треугольников:
Т.к.
,
то обратная матрица может быть найдена.
Найдём алгебраические дополнения для
всех элементов матрицы А:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Составим
присоединённую матрицу
Обратная матрица
Для проверки,
правильности вычисления
,
найдём
3) Решить систему методом Жордана – Гаусса:
a)
Решение:
Рассмотрим
расширенную матрицу системы:
.
Приведём её к верхне- треугольному виду.
Из
3-ей стоки вычтем 1-ю строку, умноженную
на 3:
.
Разделим
3-ю строку на 5:
Вычтем
из 3-ей строки 2-ю строку:
и разделим 3-ю строку
на
(-1):
.
Мы привели матрицу к верхнее- треугольному
виду.
Заменим
исходную систему системой, полученной
путём преобразования матрицы и найдем
значения переменных:
Из
2-го уравнения при
получим
.Подставляя
значения y
и z
в 1-ое
уравнение найдем значение
.Тогда
решение системы может быть представлнно
в виде матрицы-столбца:
.
b)
Решение:
Рассмотрим
расширенную матрицу системы:
.
Приведём её к верхнее треугольному
виду.
Поменяем
местами 1-ю и 2-ю строки:
.
Из 2-ой стоки вычтем 1-ю строку, умноженную
на 2, из 3-ей стоки вычтем 1-ю строку,
умноженную на 3:
.
К 3-ей строке прибавим 2-ю строку:
.
Третью строку разделим на (-30):
.
Переменные
являются базисными, а переменная
является
свободной. Заменим исходную систему
системой, полученной путём преобразования
матрицы и выразим базисные переменные
через свободные:
.
Выразим из 3-го уравнения
и подставим его значение во второе
уравнение, затем из 2-го уравнения выразим
и подставим в 1-е уравнение. Тогда система
примет вид:
.
Свободная переменная
может
принимать любые значения. Зададим
,
где С-
произвольная константа. Тогда решение
системы может быть представлнно в виде
матрицы-столбца:
.
4)
Даны векторы
.
a)Доказать, что вектора образуют базис и найти разложение вектора по этому базису.
b) Найти скалярное произведение векторов и .
c) Найти векторное произведение векторов и .
d) Найти смешанное произведение векторов .
Решение:
a)
Три вектора в трёхмерном пространстве
образуют базис, если они линейно
независимы. Для проверки линейной
зависимости векторов составим их нулевую
линейную комбинацию:
.
Данное векторное уравнение соответствует
системе трёх линейных однородных
уравнений:
.
Вычислим определитель матрицы, полученной
системы:
.
Т.к.
определитель основной матрицы однородной
системы
,
то система имеет единственное нулевое
решение
.
Следовательно, по определению линейной
зависимости векторов, векторы
являются линейно независимыми , а значит
образуют базис.
Найдём
разложение вектора
по этому базису. Составим линейную
комбинацию:
.
Перепишем данное векторное уравнение
в координатной форме:
.
Решая полученную систему (например,
методом Крамера), найдём
.
Следовательно, разложение вектора
по базису
имеет вид:
.
b)
.
c)
Раскрывая определитель по элементам
1-ой строки, получим:
.
d)
.
5) Даны координаты вершин треугольника, A(3, 5), B(-7, 12), C(2, -6). Найти:
a) длину стороны AB;
b) общие уравнения сторон AB и BC;
c) величину угла B;
d)длину и уравнение высоты, опущенной из вершины ;
e) площадь треугольника ;
f) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне .
Решение:
a)Найдём
длину стороны
AB,
как длину
вектора
:
.
.
b)Найдём уравнения сторон AB и BCпо формуле уравнения прямой, проходящей через две точки.
- общее уравнение
прямой АВ.
-
общее уравнение прямой ВС.
c
)
Угол В
– есть угол между прямыми AB
и BC.
Угол между
прямыми может быть найден, как угол
между их нормальными векторами.
.
.
d)
Опустим высоту из точки А
на сторону ВС.
Пусть точка D
– есть основание этой высоты. Прямая
AD
перпендикулярна прямой ВС.
Следовательно,
вектор нормали прямой ВС
является
направляющим вектором для прямой
AD.
.
Воспользуемся каноническим уравнением
прямой.
-
общее уравнение высоты AD.
Найдём длину высоты AD, как расстояния от точки А до прямой ВС.
.
e)Найдём площадь треугольника как половину произведения длины основания треугольника на его высоту.
Пусть ВС
– основание
,
AD
– его высота.
;
.
.
f)
Обозначим прямую, проходящую через
точку
параллельно стороне
через l.
Т.к.
,
то
.
Составим каноническое уравнение прямой
l.
- общее уравнение
прямой l.
6) Даны четыре точки A(3;-2;1), B(1;2;4), C(-5;4;6), M(2;3;-1). Найти:
a)уравнение плоскости , проходящей через три точки A, B, C;
b)каноническое уравнения прямой AB;
c)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины М на грань ;
d) объем пирамиды АВСМ.
Решение:
a)Воспользуемся
уравнением плоскости, проходящей через
три точки:
Разложим определитель по элементам первой строки:
-
общее уравнение плоскости α.
b) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
- каноническое
уравнение прямой АВ.
c)
Обозначим высоту, опущенной из вершины
М
на грань
через l.
Т.к
,
то
.
Составим каноническое уравнение прямой
l:
.
Найдём длину высоты
как расстояние от точки М
до плоскости α:
.
d)Объём
пирамиды равен
объёма параллелепипеда, построенного
на трёх векторах и может быть вычислен
через смешанное произведение этих
векторов:
.
.
7)
Дано уравнение кривой второго порядка
.
Привести её к каноническому виду,
определить вид, указать её параметры.
Решение:
Приведём данное уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты для переменных x и y:
,
,
,
.
Таким образом, получили каноническое уравнение гиперболы со смещённым центром:
или
.
Точка
– центр гиперболы.
– мнимая полуось;
– действительная
полуось;
;
– эксцентриситет.
Точки
определяют
вершины гиперболы:
,
.
Точки
определяют
фокусы гиперболы:
,
.
Уравнения
определяют директрисы гиперболы:
.
Уравнения
определяют асимптоты:
.
Начертим гиперболу , используя найденные параметры (рис. 1).
Рис. 1