Вариант 0. Контрольная работа №1 «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия»
1) Даны матрицы:
,
.
Найти
.
2) Дана матрица
.
Найти обратную к ней матрицу
3) Решить системы линейных уравнений методом Жордана – Гаусса:
а)
b)
4) Даны
векторы
.
a)Доказать,
что вектора
образуют базис и найти разложение
вектора
по этому базису.
b)
Найти скалярное произведение векторов
и
.
c) Найти векторное произведение векторов и .
d)
Найти смешанное произведение векторов
.
5) Даны координаты вершин треугольника, A(1;4), B(-15;-8), C(-8;-16). Найти:
a) длину стороны AB;
b) общие уравнения сторон AB и BC;
c) величину угла B;
d)длину
и уравнение высоты, опущенной из вершины
;
e)
площадь треугольника
;
f)
уравнение прямой, проходящей через
точку
параллельно стороне
.
6) Даны четыре точки A(2;1,5;2), B(0;2,5;2,5), C(5;1,5;-1), M(1;0;1). Найти:
a)уравнение плоскости , проходящей через три точки A, B, C;
b)каноническое уравнения прямой AB;
c)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины М на грань ;
d) объем пирамиды АВСМ.
7) Дано
уравнение кривой второго порядка:
.
Привести его к каноническому виду, определить вид кривой, указать её параметры (для эллипса и гиперболы – центр, вершины, полуоси, фокусы, а для гиперболы и асимптоты. Для параболы указать координаты вершины, координаты фокуса, величину параметра p, уравнение директрисы). Изобразить кривую на координатной плоскости.
Контрольная работа №2 «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»
1) Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
2)Исследовать функции на непрерывность. Классифицировать точки разрыва.
a)
;
b)
3) Найти производные
для следующих функций:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
4) Найти уравнения
касательной и нормали к графику функции
в точке x0=2.
5) С помощью методов
дифференциального исчисления построить
график функции
.
6) Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
на отрезке
.
7) Даны функция
и точки A(4;1),
B(3,98;1,03).
Вычислить:
a)значение
функции
;
b) с помощью дифференциала, заменяя приращение при переходе от A к B дифференциалом. Оценить в процентах относительную погрешность вычисления.
c)
cоставить
уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке A.
8) Даны функция
,
точка М(1;1;1) и вектор
.Найти:
a) градиент данной функции в точке М;
b)
производную функции в точке М по
направлению вектора
.
9) Дана функция
.
Найти:
a) экстремум данной функции;
b)
наибольшее и наименьшее значения функции
в области
,
ограниченной линиями:
Вариант 1. Контрольная работа №1 «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия»
1) Даны матрицы:
,
,
.
Найти
2) Дана матрица
.
Найти обратную к ней матрицу
3) Решить системы линейных уравнений методом Жордана – Гаусса:
а)
b)
4) Даны
векторы
.
a)Доказать, что вектора образуют базис и найти разложение вектора по этому базису.
b) Найти скалярное произведение векторов и .
c) Найти векторное произведение векторов и .
d) Найти смешанное произведение векторов .
5) Даны координаты вершин треугольника, A(2;1), B(-14;-11), C(-6;15). Найти:
a) длину стороны AB;
b) общие уравнения сторон AB и BC;
c) величину угла B;
d)длину и уравнение высоты, опущенной из вершины ;
e) площадь треугольника ;
f) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне .
6) Даны четыре точки A(1;-2;0), B(-1;-2;-1), C(7;-1;6), M(-1;0;1). Найти:
a)уравнение плоскости , проходящей через три точки A, B, C;
b)каноническое уравнения прямой AB;
c)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины М на грань ;
d) объем пирамиды АВСМ.
7) Дано
уравнение кривой второго порядка:
.
Привести его к каноническому виду, определить вид кривой, указать её параметры (для эллипса и гиперболы – центр, вершины, полуоси, фокусы, а для гиперболы и асимптоты. Для параболы указать координаты вершины, координаты фокуса, величину параметра p, уравнение директрисы). Изобразить кривую на координатной плоскости.