3.2.18. Как пользоваться треугольником перемещений?

Как было сказано в 3.6.2, треугольник перемещений в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.

 

 

Тело бросают под углом β к поверхности горы, имеющей угол наклона α. С какой скоростью нужно бросить тело, чтобы оно упало ровно на расстоянии L от точки бросания?

Построим треугольник перемещений — это треугольник ABC (см. рис. 19). Проведем в нем высоту BD. Очевидно, что угол DBC равен α.

Выразим сторону BD из треугольника BCD:

 

 

Выразим сторону BD из треугольника ABD:

 

 

Приравняем   и  :

 

 

Откуда находим время полета:

 

 

Выразим AD из треугольника ABD:

 

 

Выразим сторону DC из треугольника BCD:

 

 

Но   Получаем

 

 

Подставим в это уравнение, полученное выражение для времени полета  :

 

 

Окончательно получаем

 

 

3.2.19. Как решать задачи с помощью закона движения? (по горизонтали)

Как правило, в школе при решении задач на равнопеременное движение применяются формулы

 

 

Однако такой подход к решению трудно применить к решению многих задач. Рассмотрим конкретный пример.

Опоздавший пассажир подошёл к последнему вагону поезда в тот момент, когда поезд тронулся, начав движение с постоянным ускорением   Единственная открытая дверь в одном из вагонов оказалась от пассажира на расстоянии   Какую наименьшую постоянную скорость он должен развить, чтобы успеть сесть в поезд?

 

 

Введем ось Ox, направленную вдоль движения человека и поезда. За нулевое положение примем начальное положение человека («2»). Тогда начальная координата открытой двери («1») L:

 

 

Дверь («1»), как и весь поезд, имеют начальную скорость равную нулю. Человек («2») начинает движение со скоростью 

 

 

Дверь («1»), как и весь поезд, движется с ускорением a. Человек («2») движется с постоянной скоростью:

 

 

Закон движения и двери и человека имеет вид:

 

Подставим условия   и   в уравнение для каждого из движущихся тел:

 

 

 

Мы составили уравнение движения для каждого из тел. Теперь воспользуемся уже известным алгоритмом для нахождения места и времени встречи двух тел — нам нужно приравнять   и  :

 

 

Откуда получаем квадратное уравнение для определения времени встречи:

 

 

Это квадратное уравнение. Оба его решения имеют физический смысл — наименьший корень, это первая встреча человека и двери (человек с места может побежать быстро, а поезд не сразу наберет большую скорость, так что человек может обогнать дверь), второй корень — вторая встреча (когда уже поезд разогнался и догнал человека). Но наличие обоих корней означает — человек может бежать и медленнее. Скорость будет минимальна, когда уравнение   будет иметь один единственный корень, то есть

 

 

Откуда находим минимальную скорость:

 

 

В таких задачах важно разобрать в условиях задачи: чему равны начальная координата, начальная скорость и ускорение. После этого составляем уравнение движения и думаем как дальше решать задачу. 

3.2.20. Как решать задачи с помощью закона движения? (по вертикали)

Рассмотрим пример.

Свободно падающее тело прошло последние 10 м за 0,5 с. Найти время падения и высоту, с которой упало тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

 

Для свободного падения тела справедлив закон движения:

В нашем случае:

начальная координата: 

начальная скорость: 

Подставим условия в закон движения:

 

 

Подставляя в уравнение движения   нужные значения времени, будем получать координаты тела в эти моменты.

В момент падения   координата тела 

 

 

За   с до момента падения, то есть при   координата тела 

 

 

Уравнения   и   составляют систему уравнений, в которой неизвестны H и   Решая эту систему, получим:

 

 

 

Итак, зная вид закона движения (3.30), и используя условия задачи для нахождения   и  получаем закон движения для данной конкретной задачи. После чего, подставляя нужные значения времени, получаем соответствующие значения координаты. И решаем задачу!