6.2. Өлшемді жиындар класының қасиеттері

1-Теорема. Кез-келген шенелген саналымды жиын өлшемді, оның өлшемі нөлге тең.

([3],87-б).

Анықтама. Егер Е саналымды жиын құрайтын тұйық F_k жиындардың қосындысы болса

∞

∑ Fk ,онда ол Fσ

11. =1

Егер Е жиыны саналымды жиын құрайтын ашық G_k жиындарының қиылысуы болса

∞

5. = IG_k , онда ол G_σ типтес жиын деп аталады.

11. =1

2-Теорема. Кез-келген F_σ типтес жəне G_σ типтес жиындар өлшемді ([3],88-б).

Анықтама. Егер Е жиыны ашық жəне тұйық жиындардан саны арқылы немесе саналымды қосу мен қиылысу амалдары арқылы алынса, онда ол Борель жиыны деп аталады.Шенелген Борель жиыны (В) өлшемді деп аталады.

Мысалы F_σ жəнеG_σ типтес жиындар Борель жиынындары.

2-Теорема. (В) өлшемді жиындар (L) өлшемді де болады. Кері сөйлем дұрыс емес.

([3],88-б).

7-дəріс

Өлшемді функциялар

Негізгі терминдер - Өлшемді функция,эквиваленттілік, барлық жерде дерлік (б.д.

жерде), сатылы (баспалдақ) функция,сипаттауыш функция.

Мақсат - өлшемді функциялармен танысу.

7.1 Өлшемді функциялардың алғашқы қасиеттері

Е жиынында анықталған f(x) функциясы берілсін . Бұдан былай E(f>a) символымен Е жиынының f(x)>a теңсіздігін қанағаттандыратын x нүктелерінің жиынын белгілейміз . Сол сияқты E(f≥a), E(f=a), E(f≤a),(а<f<в).т.б. символдар қарастырылады.

1-Анықтама. Е жиынында берілген f(x) өлшемді функция деп аталады, егер Е-өлшемді болса жəне əрбір a ∈ R үшін E(f>a) жиыныда өлшемді болса.

1-Теорема. Бос жиында берілген кез-келген функция өлшемді.

Дəлелдеуді қажет етпейді.

2-Теорема. Е жиынында өлшемді f(x) функциясы Е жиынының əрбір өлшемді А ішжиынында да өлшемді функция болады.

Дəлелдеуі. A( f > a) = A ⋅ E( f > a).

3-Теорема. Өлшемді E жиыны өлшемді E_k жиынындарының саны ақырлы не саналымды қосындысы болсын

E = ∑ E_k .

k

Егер Е жиынында берілген f ( x ) функциясы E_k жиынындарының əрқайсысында өлшемді болса, онда ол Е жиынында өлшемді.

Дəлелдеуі. E( f > a) = ∑ E_k ( f > a).

k

2-Анықтама. Бір Е жиынында f(x) жəне g(x) функциялары берілсін. Егер mE( f ≠ g) = 0

болса онда f(x) жəне g(x) функциялары( өзара) эквиваленітті деп аталады да f ( x ) ~ g( x ) түрінде жазылады.

3-Анықтама. Егер қайсыбір жағдай (қасиет) S берілген Е жиынының нөл өлшемі Е₀(mE₀=0) ішжиынында ( E₀ ⊂ E )жатпайтын басқа барлық нүктелерінде орындалса, онда S

осы Е жиынының барлық дерлік жерінде (б.д.жерде ) орындалады дейміз.

Мысалы. Е жиында эквиваленітті f(x) жəне g(x) функциялары Е жиынының барлық дерлік жерінде бір –біріне тең.

4-Теорема. Егер f(x) функциясы Е жиынында берілген өлшемді функция болса, ал

f ( x ) ~ g( x ) болса, онда g(x) функциясы өлшемді.

Дəлелдеуі A = E( f ≠ g), B=E-A десек ,онда mA=0 жəне B-өлшемді жиын. В жиынын-да

f ( x ) = g( x ) яғни В жиынында g(x) өлшемді. Онда g(x) нөл өлшемді А жиынында да

өлшемді болғандықтан, ол E = A + B жиынында да өлшемді.

5-Теорема .Егер Е жиынының барлық нүктелерінде f(x)=C болса, онда f(x) өлшемді.

Дəлелдеуі. E( f > a) = E ,	егер	а < c .
0 ,	егер	а ≥ c

Бүл теоремада С=∞ бола алатынын ескер.

4-Анықтама. Бізге [a,b] кесіндісінде f(x) функциясы берілсін егер [a,b] кесіндісін C₀=a₁<c₁<c₂<…<c_n=B саны ақырлы бөліктерге бөліп, (С_к,С_к+1), k = 0,1,2,... интервалдарының əрқайсысында f(x) функциясын түрақты етуге болса, онда f(x) сатылы функция деп аталады.

Салдар. Сатылы функция өлшемді .

Дəлелдеуі 5-теоремаға қара .

6. -Теорема. Өлшемді Е жиынында f(x) өлшемді болса ,онда əрбір a үшін E(f≥a), E(f=a), E(f≤a), E(f<a) жиындарының əрқайсысыда өлшемді.

∞			1
Дəлелдеуі. E( f ≥ a) = I	E( f	> a −		) , бұдан E(f≥a) өлшемді екенін көреміз
n=1			n
Енді E( f = a) = E( f ≥ a)− E( f > a), E( f ≤ a) = E − E( f > a), E( f < a) = E − E( f ≥ a)
теңдіктерін ескерсек болады.									1
7-Теорема. Егер Е жиынында f(x) өлшемді болса онда						f (x)		2
								, f (x) , f(x)≠0 болса
									f (x)

функциялары жəне əрбір к саны үшін f(x)+к, кf(x) функциялары да өлшемді. ([3],102-103б.).

8-Теорема. E=[a,b] сегментінде үзіліссіз f(x) функциясы өлшемді.

Дəлелдеуі. Үзіліссіз f (x) үшін F = E( f ≤ a) жиыны тұйық. Шынында, егер x0 оның

шелтік нүктесі жəне xn → x0 десек,онда f (xn ) ≤ a , lim f (xn ) = f (x0 ) ≤ a , яғни x0 ∈ F .

Онда E( f > a) = E − E( f ≤ a) -өлшемді жиын.

4-Анықтама. E=[a,b] сегментінің М ішжиыны болсын.

1 , x ∈ M

^ϕM ^{(x) =} _{0 , x ∈ E − M}

функциясы M жиынының сипаттауыш функциясы деп аталады.

9-Теорема. М жиыны мен оның сипаттауыш функциясы ϕ_M (x) бір уақытта өлшемді, не өлшемсіз.

Дəлелдеуі. Егер ϕ_M (x) өлшемді болса, онда M = E(ϕ_M > 0) өлшемді. Керісінше , егер

• өлшемді болса, онда

	0 , егер a ≥ 1,
E(ϕ M		≤ a < 1,
	> a) = M , егер 0
		< 0
	E , егер a
жиынның өлшемділігінен	ϕM (x) функциясының өлшемділігін көреміз.

8-дəріс

Өлшемді функциялардың күрделірек қасиеттері жəне өлшем бойынша жинақтылық.

Негізгі терминдер - Өлшем бойынша жинақтылық.

Мақсат - Өлшемді функциялармен танысу.