3.2. Ашық жəне тұйық жиындар.

1. Білген x₀ ∈ R нүктесінің маңайы деп,осы нүктені қамтитын кез-келген интервалды

айтады. Əрине, нүктенің кез-келген маңайының ішінде оның симметриялы маңайы да бар, жəне керісінше.

2. Егер А жиынына оның х (х ∈ Α) нүктесі өзінің қандай болмасын бір маңайымен бірге енетін болса,онда x нүктесі Α жиынының ішкі нүктесі деп аталады x ∈ (α , β ) ⊂ Α .

2. Тек қана ішкі нүктелерден тұратын жиын ашық жиын деп аталады. Яғни, егер Α – ашық жиын, болса, онда ∀х ∈ Α үшін, δ > 0 табылып, O_δ (x) ⊂ Α болады. Мысал. Кез-

келген интервал ашық жиын. Нақты сандар жиыны R ашық жиын.Бос жиын Ø – ашық жиын.

Шектік нүкте. Берілген x₁ ,x₂ ,...,x_n ,... сандар тізбегі x санына жинақталады дейміз, егер

• ( x _k ,x) = x_k − x → 0 , k → ∞ , болса.

Басқаша айтқанда, егер кез-келген ε > 0 - ге сəйкес n0 = n0 (ε ) саны табылып,			барлық
n ≥ n0	нөмірлері	үшін ρ(xn , x) < ε болса онда {xn} тізбегі x санына жинақты дейміз,оны
lim xn = x , не xn		→ x түрінде жазамыз. Мұндағы x тізбектің шегі деп аталады.
n→∞	M жиынында x санына (нүктесіне) жинақталатын {xn} тізбек бар болса,
Егер			онда x

нүктесі M жиынының шектік нүктесі деп аталады.

Бұл анықтаманың төмендегідей эквиваленттері бар. Оны түсіну қажет.

1. Егер х нүктесінің кез-келген маңайында M жиынының ақырсыз көп нүктелері бар болса, онда x нүктесі M - нің шектік нүктесі деп аталады.

б) Егер х нүктесінің кез-келген маңайында М жиынының х -тен басқа кем дегенде бір нүктесі бар болса, онда х нүктесін M -нің шектік нүктесі дейміз.

Жиының шектік нүктесі жиында жатуы да, жатпауы да мүмкін.

M жиынның барлық шектік нүктелерінің жиынын М ′ деп белгілеп, оны туынды жиын

деп атайды. Егер М ′ ⊂ М болса, онда M жиынын тұйық жиын деп, егер М ⊂ М ′ болса,онда M өзіне тығыз деп, егер М = М ′ болса, онда M кемел жиын деп аталады. Кемел жиын əрі тұйық, əрі өзіне тығыз жиын. Кез-келген кесінді [а, в]-тұйық жиын.

Ақырлы жиын да тұйық жиын.

Теорема Кез-келген ашық жиынның толықтауышы тұйық жиын жəне кез-келген тұйық жиынның толықтауышы ашық жиын ( R -ге дейін толықтауыштар). ([1], 32 − 33б).

4. – Дəріс

Ашық жəне тұйық жиындардың құрылысы Негізгі терминдер – Ашық жəне тұйық жиындардың структурасын түсіну.

4.1 Ашық жиындар

Теорема. Нақты сандар кеңістігінде əрбір ашық жиын G өзара қиылыспайтын интервалдврдың ақырлы, не саналымды бірігуі ([1],30 − б)

Теорема. Ашық жиындардың ақырлы қиылысуы жəне оладың кез-келген (ақырлы, не ақырсыз) бірігуі ашық жиын. ([1],29 − б)

G - ашық жиын болсын.Егер (a, в) интервалы G -да жатып, бірақ оның шеткі нүктелері G -да жатпаса (a , в) ⊂ G, a ∉ G, в ∉ G, онда бұл интервал G жиынының құрастырушы

интервалы деп аталады.

Теорема. Əрбір шенелген ашық жиын өзара қиылыспайтын құрастырушы интервалдардың ақырлы,не саналымды бірігуі болады. ([5],54 − б).