1.3. Жиынның қуаты

Жиындарды элементтерінің азды көптігіне қарай өзара салыстыра білу қажет болады. Егер қарастырылатын жиындардың элементтерінің саны ақырлы болса, онда оларды элементтерінің санымен салыстырар едік.Жалпы жағдайда, яғни элементтерінің саны ақырсыз жиындарды салыстыру үшін басқа жол қажет.

Егер белгілі бір φ заңдылығы (ережесі) бойынша А жиынының əрбір а ∈ А элементіне В жиынының тек қана в ∈ В бір элементі сəйкес жəне, керісінше, əрбəр в ∈ В элементіне тек бір а ∈ А элементі сəйкес болса, онда А жəне В жиындарының арасында өзара бірмəнді

сəйкестік бар дейміз (ϕ : A → B,ϕ⁻¹ : B → A). Осындай, араларында өзара бірмəнді сəйкестік бар жиындар (өзара) эквивалентті (пара-пар), немесе тең қуатты жиындар деп аталады;оны А ~ В түрінде жазамыз.Бұл жағдайда A жəне B жиындарының арасында (ϕ) -

биекция бар деп те атаймыз.

Əрине (элементтерінің саны) ақырлы жиындар экви-валентті болу үшін олардың элементтерінің саны бірдей болуы қажетті жəне жеткілікті.

• = {1,2,3,...} - натурал сандар жиыны жəне жұп натурал сандар жиыны Ν₂ = {2,4,6,...} (k = 1,2,...), Тік бұрышты үшбұрыштың гипатенузасыныңэквиваленттіжиындар:k↔2k,

нүктелерінің жиыны А оның катетінің нүктелерінің жиыны В -ға эквивалентті. Əрине ги-потенуза катеттен ұзын, ақырсыз жиын. Ақырсыз жиынның өзіне тең емес ақырсыз бөлігін оның дұрыс бөлігі дейді. Өзінің дұрыс бөлігіне эквивалентті болу тек қана ақырсыз жиындарға тəн қасиет.

1.4 Саналымды жиындар Натурал сандары жиынына (Ν) эквивалентті жиын саналымды

жиын деп аталады.Яғни,саналымды жиынның элементтерін бірін қалдырмай нөмірлеуге болады.

1-Теорема. Саналымды жиындардың саналымды бірігуі саналымды жиын ([1],16 − б)

2-Теорема. Барлық рационал сандар жиыны Q -саналымды. ([1],17 − б)

3-Теорема. Rⁿ , (n = 1,2,...,), - Евклид кеңістігіндегі координаталары рационал сан нүктелер

жиыны саналымды.

4-Теорема. Коэффициенттері рациорал алгебралық көпмүшелер жиыны саналымды ([1],18 −19б).

2. – Дəріс

Континуумды куатты жиындар

Негізгі терминдер–саналымсыз жиын, континуум, континуум қуаты.

Мақсат – Ақырсыз жиындардың түрлерімен танысу

2.1. Кантор теоремасы

Саналымды емес ақырсыз жиындар бар, оларды саналымсыз жиындар деп атаймыз.

1-Теорема (Кантор). [0,1] кесіндісінің барлық нүктелерінің жиыны саналымсыз

1-салдар. Иррационал сандар жиыны-саналымсыз жиын. ([1],20 − б).

[0,1] кесіндісіне эквивалентті жиын континуум куатты жиын деп аталады, оның қуаты қысқаша с деп белгіленеді.

2-Теорема. Континуум қуатты А жиынына ақырлы, не саналымды В жиынын қосқаннан, не алғаннан оның қуаттылығы өзгермейді: А ∪ В ~ А ([1],21− б.)

Мысал Кез-келген интервал, кесінді жəне нақты сандар жиыны R континуум қуатты:

(а , в)~ [а , в]~ (0,1]~ [0,1]~ (− ∞, ∞)= R екеніне көз жеткіз.

Салдар Иррационал сандар жиыны да, транцендент сандар жиыны да с (континуум)

куатты ([1],26 − б.)

3–Д əріс

Метрикалық кеңістік. Ашық жəне тұйық жиындар

Негізгі терминдер – метрика, шектік нүкте, ішкі нүкте, жинақтылық, ашық жиын, тұйық жиын.

Мақсат – Метрикалық кеңістіктегі жиындардың негізгі түрлерімен танысу.

3.1. Бастапқы ұғымдар. Жиын элементтері тізбектерінің жинақтылығы, шегі, жиында анықталған функциялардың үзіліссіздігі, т.б маңызды түсініктерді қарастыру үшін жиын элементтерінің «ара қашықтығы» анықталуы керек.

1. Сандар түзуінің ( R) x жəне y нүктелерінің ара қашықтығы деп x − y санын айтады,

оны ρ(x, y) түрінде белгілеп метрика деп те атайды.

Метрика мына шарттарды (аксиомаларды) қанағаттандыруы қажет:

1. ρ( x , y) = ρ( y , x) ≥ 0

2. ρ( x, y) = 0 ⇔ x = y

3. ∀x, y, z ∈ R үшін ρ( x , y) ≤ ρ(x, z)+ ρ(z, y) (үшбұрыш теңсіздігі).

Осы шарттарды қанағаттандыратын метрикасы бар жиын метрикалық кеңістік деп аталады. Мысалы, Rⁿ – Евклид кеңістігінде x = (x₁, x₂ ,..., x_n), y = (y₁, y₂ ,..., y_n) нүктелері-

	n		1
		2		2
	∑ (xk	− yk )			түрінде анықтайды. Жоғарғы 1)-3) шарттардың
нің ара қашықтығын ρ( x , y)=
k =1

орындалуын тексеру оңай.

2)	Берілген x0 ∈ R	нүктесі мен	бос	емес	E ⊂ R	жиынының	ара қашықтығы деп
ρ( x 0	, Ε) = inf ρ(x0 , x) санын айтады.		Əрине бұл теңдікпен ρ(x0 , Ε)				бір мəнді анықталған
	x∈Ε	x0 ∈ Ε , онда	ρ(x0 , Ε) = 0 ,
жəне теріс емес. Егер					бірақ кері сөйлем дұрыс емес. Мысалы,
x0 = 0, Ε = (0,1) болса, онда ρ(x0 , Ε) = 0 , бірақ x0 ∉ Ε .								inf ρ(x, y) санын
3)	Бос емес A мен B жиындарының ара қашықтығы деп ρ(A, B) =
айтады. Əрине ρ( A, B)							x∈A, y∈B
		≥ 0 жəне анықталған.
Егер A I Β ≠ ∅ ,		онда ρ(Α, Β) = 0 ,		бірақ	кері	сөйлем дұрыс		емес. Мысалы,

• = (− 1,0), Β = (0,1), он-да ρ( Α, Β) = 0, бірақ ΑΒ = Ø.

Математикалық анализде Ο_δ ( y ₀ ) = (x : y₀ − δ < x < y₀ + δ ) интервалы y₀ ∈ R нүктесінің (симметриалы) δ - маңайы деп аталды. Метрика бойынша жазсақ O_δ (y₀)= {x : ρ(y₀ , x)< δ }. Бұл өрнек кез-келген метрикалық кеңістікте y₀ нүктесінің маңайын анықтайтынын түсіну керек.