- •Мазмұны
- •Жиындар
- •1.1. Сандардың жиындары.
- •1.2. Жиындарға қолданылатын амалдар.
- •1.3. Жиынның қуаты
- •Континуумды куатты жиындар
- •2.1. Кантор теоремасы
- •Метрикалық кеңістік. Ашық жəне тұйық жиындар
- •3.2. Ашық жəне тұйық жиындар.
- •4.1 Ашық жиындар
- •4.2 Тұйық жиындар
- •5.1. Ашық шенелген жиынның өлшемі
- •5.2 Тұйық шенелген жиынның өлшемі
- •5.3 Шенелген жиынның ішкі жəне сыртқы өлшемдері
- •Өлшемді жиындардың қасиеті
- •6.1 Өлшемді жиындар
- •6.2. Өлшемді жиындар класының қасиеттері
- •Өлшемді функциялар
- •7.1 Өлшемді функциялардың алғашқы қасиеттері
- •8.1 Өлшемді функцияларға амалдар
- •8.2. Өлшем бойынша жинақтылық.
- •8.3 Өлшемді функциялардың құрылысы
- •Лебег интегралы
- •9.1. Шенелген функцияның Лебег интегралы
- •9.2 Интеграл арасында шекке көшу. Лебег жəне Риман интегралдарын салыстыру.
- •Қосындылы функциялар
- •10.1. Теріс емес функциялардың интегралы
- •Функциялардың Лебег кластары.
- •12.1. Анықтамалар мен теоремалар.
- •13.1. Стилтьес интегралының анықтамасы, алғашқы қасиеттері.
- •14.1. Абсолют үзіліссіз функциялар.
- •Бірнеше айнымалы шамалардың өлшемді функциялары жəне олардың интегралы.
- •15.1. Өлшемді функциялар.
- •15.1. Лебег интегралы.
- •15.2.Фубини теоремасы.
- •Лабораториялық жұмыстар. Методикалық кеңестер.
- •Əдебиет.
- •Студенттердің оқытушымен өзіндік жұмысы (соөж). Методикалық кеңес.
- •Студенттердің өзіндік жұмысы (сөж). Методикалық кеңестер.
- •Пəнді түсінуге жəрдемдесетін сұрақтар
Студенттердің өзіндік жұмысы (сөж). Методикалық кеңестер.
СӨЖ нəтижелі болу үшін 1-17 бөлім материалын белсенді меңгеріп, кітаппен жұмыс істеуді меңгеру қажет.
1-СӨЖ . Жиындардың эквиваленттілігі, биекция, саналымды жиындар.
2-СӨЖ . Жиындарды қуаты бойынша салыстыр, мысалдар келтір.
3-СӨЖ . R жəне Ø ⊂ R ашық жəне тұйық жиындар екеніне дəлелдер келтір.
4-СӨЖ . Берілген жиындардың түрін (ашық, тұйық, кемел т.б) анықтауға мысалдар келтір.
5-СӨЖ . Жиын өлшемін есептеуге мысалдар.
6-СӨЖ . Rn -кеңістігіндегі жиын өлшемінің анықталуы.
7-СӨЖ . Функциялардың өлшемділігін дəлелдеу тəсілдері.
8-СӨЖ . Жинақтылық түрлеріне есептер келтір.
9-СӨЖ . Лебег интегралын есептеуге мысалдар жаз.
10-СӨЖ . Шенелген жəне шенелмеген облыстарда Лебег кластарын салыстыр. (Lp , p ≥ 1) .
11-СӨЖ . Функциялардың кесіндіде өзгеруін есептеу.
12-СӨЖ . Абсолют үзіліссіз функцияларға мысалдар жəне қарсы мысалдар.
13-СӨЖ . Тапсырмаларды қабылдау.
14-СӨЖ . Тапсырмаларды қабылдау, талқылау.
15-СӨЖ . Емтихан сұрақтарын талқылау.
Глоссарий.
Жиынның қуаты, оның элементтерінің азды-көптігі туралы (басқа жиынмен салыстырмалы) хабар береді.
Ақырлы жиынның қуаты оның элементтерінің санына тең (n).
Эквивалентті жиындар – элементтерінің арасында бір мəнді сəйкестік бар жиындар. Саналымды жиын – натурал сандар жиынына эквивалентті жиын. Оның қуаты əлбетте a деп белгіленеді.
Континуум – [0,1] сегментіне эквивалентті жиын, оның қуаты c деп белгіленеді. n < a < c . Жиын өлшемі түсінігі – кесіндінің ұзындығы, төртбұрыштың ауданы, параллелопипедтің көлемі түсініктерін басқа күрделірек жиындарға жалғастыру қажеттілігінен туындайды. (Анықтама 5-дəрісте).
Өлшемді функция – E жиынында берілген f функциясы өлшемді дейді, егер E жəне ∀a саны үшін E( f > a) жиындары өлшемді болса.
Қосындылы функция – E жиынында өлшемді f функциясы қосындылы дейді, егер оның
бойынша Лебег интегралы ақырлы болса.
b |
p dx < ∞ шартын қанағаттандыратын [a, b] кесіндісінде |
Лебег класы Lp [a, b], p ≥ 1 – ∫ f (x) |
a
өлшемді функциялардың жиыны (өзара эквивалентті функциялар бір функция ретінде саналады).
Егер |
f (x), g(x)∈ Lp [a, b], p ≥ 1, онда f (x) + g(x) ∈ L p [a, b] : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
p |
p |
|
|
|
|
p |
p |
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
f (x) + g(x) |
|
|
≤ |
|
|
∫ |
|
|
f (x) |
|
+ |
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Бұл Минковский теңсіздігі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Егер |
f (x) ∈ Lp [a,b], p ≥ 1, g(x) ∈ Lq [a,b], |
+ |
|
= 1, онда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f (x)g(x) |
|
|
|
f (x) |
p |
|
p |
|
g(x) |
q |
q |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
f (x) ⋅ g(x) ∈ L [a,b](≡ L[a,b]) : |
|
|
dx ≤ |
|
dx |
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Бұл Гельдер теңсіздігі.