- •Мазмұны
- •Жиындар
- •1.1. Сандардың жиындары.
- •1.2. Жиындарға қолданылатын амалдар.
- •1.3. Жиынның қуаты
- •Континуумды куатты жиындар
- •2.1. Кантор теоремасы
- •Метрикалық кеңістік. Ашық жəне тұйық жиындар
- •3.2. Ашық жəне тұйық жиындар.
- •4.1 Ашық жиындар
- •4.2 Тұйық жиындар
- •5.1. Ашық шенелген жиынның өлшемі
- •5.2 Тұйық шенелген жиынның өлшемі
- •5.3 Шенелген жиынның ішкі жəне сыртқы өлшемдері
- •Өлшемді жиындардың қасиеті
- •6.1 Өлшемді жиындар
- •6.2. Өлшемді жиындар класының қасиеттері
- •Өлшемді функциялар
- •7.1 Өлшемді функциялардың алғашқы қасиеттері
- •8.1 Өлшемді функцияларға амалдар
- •8.2. Өлшем бойынша жинақтылық.
- •8.3 Өлшемді функциялардың құрылысы
- •Лебег интегралы
- •9.1. Шенелген функцияның Лебег интегралы
- •9.2 Интеграл арасында шекке көшу. Лебег жəне Риман интегралдарын салыстыру.
- •Қосындылы функциялар
- •10.1. Теріс емес функциялардың интегралы
- •Функциялардың Лебег кластары.
- •12.1. Анықтамалар мен теоремалар.
- •13.1. Стилтьес интегралының анықтамасы, алғашқы қасиеттері.
- •14.1. Абсолют үзіліссіз функциялар.
- •Бірнеше айнымалы шамалардың өлшемді функциялары жəне олардың интегралы.
- •15.1. Өлшемді функциялар.
- •15.1. Лебег интегралы.
- •15.2.Фубини теоремасы.
- •Лабораториялық жұмыстар. Методикалық кеңестер.
- •Əдебиет.
- •Студенттердің оқытушымен өзіндік жұмысы (соөж). Методикалық кеңес.
- •Студенттердің өзіндік жұмысы (сөж). Методикалық кеңестер.
- •Пəнді түсінуге жəрдемдесетін сұрақтар
14.1. Абсолют үзіліссіз функциялар.
Абсолют үзіліссіз функциялар класы шенелген өзгерулі функциялар класымен тығыз байланысты, одан ауқымы төмен.
Анықтама. Бір [a, b] кесіндісінде ақырлы мəнді f (x) берілсін. Егер кез-келген ε > 0 үшін δ > 0 табылып, [a, b] кесіндісінде жатқан ұзындықтарының қосындысы
|
n |
|
|
|
|
|
∑ (bk − ak ) < δ |
|
|
(1) |
|
k =1 |
|
|
|
||
өзара қиылыспайтын интервалдардың ақырлы жүйесі {(ak ,bk )} үшін |
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∑[ f (bk ) − f (ak )] |
< ε |
(2) |
||
|
k=1 |
|
|
|
|
болса, онда f (x) функциясы абсолют үзіліссіз дейді. |
|
|
|
||
Ескерту. Анықтаманың мағынасын өзгертпей (2) теңсіздікті мына |
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
∑ |
f (bk ) − f (ak ) |
< ε |
(3) |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
күштірек теңсіздікпен ауыстыруға болады. Осы (3) теңсіздіктің қосылғыштары теріс емес жəне n кез-келген сан болғандықтан анықтамадағы (1) шартты қанағаттандыратын интервалдардың жүйесін саналымды жиын етуге де болады. ([3], 362-363 б.).
1-Теорема. Абсолют үзіліссіз f (x) жəне g(x) функцияларының қосындысы,
айырымы, көбейтіндісі абсолют үзіліссіз. Егер g(x) ≠ 0 болса, онда |
f (x) |
функциясы да |
g(x) |
||
|
|
абсолют үзіліссіз. ([1], 118-б.; [3], 264-б.).
2-Теорема. Абсолют үзіліссіз функция шенелген өзгерулі де функция. ([1], 118-б.; [3],
264-б.)
Абсолют үзіліссіз болмайтын үзіліссіз функциялар бар.
|
|
Мысалы f (x) = x cos |
π |
|
(0 < x < 1, f (0) = 0) |
|
([3], 235-б.) |
|
|
|
|||
|
|
2x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Салдар. Егер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x) функциясы [a, b] |
кесіндісінде абсолют үзіліссіз болса, онда оның |
||||||||||
кесіндінің əр нүктесінде ақырлы мəнді туындысы |
′ |
|
жəне |
′ |
қосындылы |
||||||||
f (x) бар |
f (x) |
||||||||||||
функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
||
|
|
3-Теорема. Егер абсолют үзіліссіз |
f (x) функциясының |
туындысы f |
|||||||||
|
|
(x) барлық |
|||||||||||
дерлік жерде нөлге тең болса, онда f (x) ≡ const . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Салдар. Егер |
абсолют |
үзіліссіз |
f (x) , |
g(x) |
функцияларының |
туындылары |
|||||
f |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) ~ g (x) (эквивалентті) болса, онда f (x) − g(x) ≡ const . ([3], 266-267 б.). |
|
|||||||||||
|
|
|
14.2. Лебегтің анықталмаған интегралы. |
|
|
||||||||
|
|
Анықтама. Бір [a, b] кесіндісінде қосындылы |
|
f (x) |
берілсін. Онда |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ(x) = C + ∫ f (t)dt |
(x ∈[a,b], ∀C ≡ const.) |
|
|
|||||||
a
функциясы f (x) -тың анықталмаған Лебег интегралы деп аталады.
1-Теорема. Анықталмаған интеграл Φ(x) -абсолют үзіліссіз функция. ([1], 120-б.;[3],
271-б.)
2-Теорема. Анықталмаған интеграл
x
Φ(x) = ∫ f (t)dt
a
функциясының туындысы барлық дерлік жерде интеграл асты f (x) функциясына тең. ([3], 272-б.;[1] 121-б.).
3-Теорема. Абсолют үзіліссіз функция өзінің туындысының анықталмаған интегралы. Дəлелдеуі. F (x) -абсолют үзіліссіз болса, онда барлық дерлік жерде F ′(x) туындысы бар
жəне F ′ ⊂ L (қосындылы).Егер
x
Φ(x) = F (a) + ∫ F ′(t)dt
a
десек, онда Φ(x) абсолют үзіліссіз жəне барлық дерлік жерде
Φ′(x) = F ′(x)
Онда F (x)
F (x) − Φ(x) = const = Φ(x) .
(14.1
п.
3-теорема). Бірақ,
F (a)
− Φ(a) = 0 .
Сондықтан,
15-Дəріс.