- •Мазмұны
- •Жиындар
- •1.1. Сандардың жиындары.
- •1.2. Жиындарға қолданылатын амалдар.
- •1.3. Жиынның қуаты
- •Континуумды куатты жиындар
- •2.1. Кантор теоремасы
- •Метрикалық кеңістік. Ашық жəне тұйық жиындар
- •3.2. Ашық жəне тұйық жиындар.
- •4.1 Ашық жиындар
- •4.2 Тұйық жиындар
- •5.1. Ашық шенелген жиынның өлшемі
- •5.2 Тұйық шенелген жиынның өлшемі
- •5.3 Шенелген жиынның ішкі жəне сыртқы өлшемдері
- •Өлшемді жиындардың қасиеті
- •6.1 Өлшемді жиындар
- •6.2. Өлшемді жиындар класының қасиеттері
- •Өлшемді функциялар
- •7.1 Өлшемді функциялардың алғашқы қасиеттері
- •8.1 Өлшемді функцияларға амалдар
- •8.2. Өлшем бойынша жинақтылық.
- •8.3 Өлшемді функциялардың құрылысы
- •Лебег интегралы
- •9.1. Шенелген функцияның Лебег интегралы
- •9.2 Интеграл арасында шекке көшу. Лебег жəне Риман интегралдарын салыстыру.
- •Қосындылы функциялар
- •10.1. Теріс емес функциялардың интегралы
- •Функциялардың Лебег кластары.
- •12.1. Анықтамалар мен теоремалар.
- •13.1. Стилтьес интегралының анықтамасы, алғашқы қасиеттері.
- •14.1. Абсолют үзіліссіз функциялар.
- •Бірнеше айнымалы шамалардың өлшемді функциялары жəне олардың интегралы.
- •15.1. Өлшемді функциялар.
- •15.1. Лебег интегралы.
- •15.2.Фубини теоремасы.
- •Лабораториялық жұмыстар. Методикалық кеңестер.
- •Əдебиет.
- •Студенттердің оқытушымен өзіндік жұмысы (соөж). Методикалық кеңес.
- •Студенттердің өзіндік жұмысы (сөж). Методикалық кеңестер.
- •Пəнді түсінуге жəрдемдесетін сұрақтар
9.2 Интеграл арасында шекке көшу. Лебег жəне Риман интегралдарын салыстыру.
1-теорема (Лебег). Өлшемді E жиынында өлшемді шенелген f1 (x), f2 (x),...
функциялар тізбегі өлшемді шенелген F (x) функциясына өлшем бойынша жинақты болсын:
fn (x) ⇒ F (x) .
Егер барлық n жəне барлық x ( x ∈ E ) үшін
| fn (x) |< K
(*)
болатын тұрақты сан K табылса, онда
limn→∞ ∫ fn (x)dx = ∫ F (x)dx . ([1], 83-б, [3], 138-б.).
E E
Ескерту . Жоғарғы (*) теңсіздіктің б. д. жерде орындалуы жеткілікті. Егер тізбек б.д. жерде жинақты болса, онда ол өлшем бойынша да жинақты. Сондықтан теорема ол жағдайда да орынды.
2-теорема (Лебег). Шенелген f (x) Риман (R) бойынша интегралдануы үшін оның б.д. жерде үзіліссіз болуы қажет жəне жеткілікті ( [3], 145-б.).
3-Теорема. Функция (R) интегралдануы үшін оның (L) интегралдануы қажет жəне екі мағынадағы интегралдар өзара тең. ( [3],146-бет) .
10-Дəріс
Қосындылы функциялар
Негізгі терминдер - Қосындылы функциялар. Интегралдардың абсолют үзіліссіздігі Мақсат - қосындылы функциялармен танысу.
10.1. Теріс емес функциялардың интегралы
Біз енді шенелмеген функциялардың Лебег интегралын қарастырамыз.Ол үшін алдымен берілген функция теріс емес деп ұйғарамыз.
1-Лемма Өлшемді Е жиынында өлшемді теріс емес f(x) берілсін. N натурал санымен анықтаған
-
[ f (x)]N
f (x),
егер
f (x) ≤ N
=
егер
f (x) > N
N,
функциясы өлшемді.
E
Дəлелдеуі. |
Көрініп тұрғандай |
|
|
|
|
|
|
E([ f (x)]N > a) = E( f > a), егер |
a < N . |
||
|
|
|
0, |
егер |
a ≥ N |
Бұдан лемманың |
дұрыстығын көреміз. |
|
|
||
Қарастырып отырған |
[f(x)]N |
функция шенелген, сондықтан (L) интегралданады |
|||
жəне [f(x)]1≤[f(x)]2≤[f(x)]3≤…, |
сондықтан, (ақырлы, |
ақырсыз ) шек бар, |
|||
|
|
|
lim ∫[f (x)]N dx . |
(1) |
|
|
|
|
N →∞ E |
|
|
Анықтама. Жоғарғы (1) шек f(x) функциясының E жиыны бойынша Лебег интегралы |
|||||
деп аталады, жəне |
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx |
( ∫b |
f (x)dx, ↵E = [a,b] ) |
|
|
|
E |
a |
|
|
түрінде белгіленеді. Егер бұл интеграл ақырлы болса, онда f(x) функциясы E жиынында (L) интегралданады немесе қосындылы деп аталады,
1- Теорема. Егер f(x) функциясы E жиынында қосындылы болса, онда ол б.д.
жерде шенелген.
Дəлелдеуі A = E( f = +∞) дейік, онда x∈ A үшін [f(x)]N=N,
[ f (x)]N dx ≥ ∫[ f (x)]N dx = N ⋅ mA
E A
Егер mA > 0 болса, онда ∫[ f ]N dx интегралы N мен бірге шексіз өсер еді, бұл f(x)
E
қосындылы дегенге қайшы.
2-теорема. Егер mE=0 болса , онда əрбір теріс емес функция E - де қосындылы
жəне ∫ f (x)dx = 0 .
E
Теорема дəлелдеуді қажет етпейді.
3- Теорема. Егер E жиынында өлшемді теріс емес функция үшін ∫ f (x)dx = 0 болса,
онда f(x) нөлге эквалентті. ([3].152-б) |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема. ( Б. Леви) Е жиынында берілген өлшемді теріс емес функциялардың өспелі |
|||||||||||||
тізбегі f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ f3 (x) ≤ ... берілсін. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
F (x) = lim f |
n |
(x) |
болса, онда |
∫ |
F (x)dx = lim f |
n |
(x)dx |
([3],156-б) |
|
||||
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.2. Жалпы жағдайдағы Лебег интегралы |
|
|
||||||||
Енді кез келген |
таңбалы шенелген функциялардың Лебег интегралын қарастырамыз. |
||||||||||||
Өлшемді E жиынында өлшемді f(x) функциясы берілсін. |
|
|
|
||||||||||
f+ (x) = |
f (x), ↵f (x) ≥ 0, |
; |
|
|
0, ↵f (x) ≥ 0, |
|
|
||||||
|
|
|
< 0. |
|
|
f− (x) = |
|
|
|
|
|||
|
0, ↵f (x) |
|
|
|
− f (x), ↵f (x) < 0. |
|
|
||||||
функциялары |
өлшемді |
жəне теріс |
|
емес. |
Сондықтан, |
олардың |
∫ f+ (x)dx , |
∫ f− (x)dx |
|||||
|
|
|
|
f (x) = f+ (x) − f− (x) |
|
|
|
|
E |
E |
|||
интегралдары бар жəне |
екенін көру оңай. Сондықтан, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∫ f+ (x)dx − ∫ f− (x)dx |
|
|
|
|
(2) |
|||
E
өрнегін f(x) функциясының интегралы |
ретінде |
қолдану орынды, бұл өрнек f+ (x) |
жəне |
|||
f− (x) функцияларның кемінде біреуі қосындылы болса ғана мағыналы. |
|
|||||
1-Анықтама. Егер f+ (x) жəне |
f− (x) функцияларының |
кемінде біреуі қосындылы |
||||
болса, онда (ақырлы, не ақырсыз) (2) |
айырым |
f (x) - тың |
E жиыны бойынша |
Лебег |
||
интегралы дейміз, оны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx |
|
(3) |
|
түрінде белгілейміз. |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Егер f(x) шенелген болса, онда |
f+ (x) , f− (x) функцияларыда шенелген, сондықтан |
|||||
f(x) функциясының соңғы анықтама бойынша интегралы бұрынғы интегралына тең. |
|
|||||
2-Анықтама. Егер (3) интеграл |
ақырлы болса,онда f(x) функциясы, E жиынында (L) |
|||||
интегралданады, немесе қосындылы дейді. |
|
|
|
|||
Кез келген өлшемді ақырлы функция |
қосындылы функция. E жиыныда қосындылы |
|||||
болатын барлық функциялардың |
класын L(E) (L) |
деп белгілейді. |
|
|||
1-теорема. Өлшемді f(x) |
қосындылы болу үшін |f(x)| функциясы қосындылы болуы |
|||||
қажет жəне жеткілікті. |
|
|
|
|
|
|
Дəлелдеуі. Шынында да, | f (x) |= f+ (x) + f− (x) .
Сондықтан
f (x) dx = ∫ f+ (x) + ∫ f− (x)
E E E
жəне
f (x)dx ≤ ∫ f (x)dx .
E E
10.1 пункттегі 1-2 теоремалар жалпы жағдайда да орынды екені, дəлелдеуді керек етпейді.
Теорема (Абсолют үзіліссіздік) Егер f(x)∈L(E) болса, онда ∀ ε > 0 сəйкес δ =δ (ε ) > 0 табылып, me < δ болатын əрбір өлшемді e ⊂ E жиыны үшін
|
|
∫ f (x)dx |
< ε |
|
|
e |
|
болады. ([3],165-б, [1] ,94-б) |
|
|
|
Теорема (А. Лебег). E жиынында бір F(x) функциясына өлшем бойынша жинақты |
|||
f1(x), f2(x)… өлшемді функциялар тізбегі берілсін. Егер барлық n жəне x үшін |
|||
|
| fn (x) |≤ Ф(х) |
||
болатын ϕ (x)∈L(E) бар болса, онда limn→∞ |
∫ f (x)dx = ∫ F (x)dx . |
||
|
E |
|
E |
11-Дəріс.