Мазмұны

1-Дəріс. Жиындар.

1.1. Сандардың жиындары

1.2. Жиындарға қолданылатын амалдар

1.3. Жиыннның қуаты

1.4. Саналымды жиындар

2-Дəріс. Континиум қуатты жиындар.

2.1. Кантор теоремасы

3-Дəріс. Метрикалық кеңістік. Ашық жəне тұйық жиындар.

3.1. Бастапқы ұғымдар

3.2. Ашық жəне тұйық жиындар

4-Дəріс. Ашық жəне тұйық жиындардың құрылысы.

4.1. Ашық жиындар

4.2. Тұйық жиындар

5-Дəріс. Жиын өлшемі.

5.1. Ашық шенелген жиынның өлшемі

5.2. Тұйық шенелген жиынның өлшемі

5.3. Шенелген жиынның ішкі жəне сыртқы өлшемдері.

6-Дəріс. Өлшемді жиындардың қасиеттері.

6.1. Өлшемді жиындар

6.2. Өлшемді жиындар класының кейбір қасиеттері

7-Дəріс. Өлшемді функциялар.

7.1. Өлшемді функциялардың алғашқы қасиеттері

8-Дəріс. Өлшемді функциялардың күрделірек қасиеттері. Өлшем бойынша жинақтылық.

8.1. Өлшемді функцияларға амалдар

8.2. Өлшем бойынша жинақтылық

8.3. Өлшемді функциялардың құрылысы

9-Дəріс. Лебег интегралы.

9.1. Шенелген функцияның Лебег интегралы

9.2. Интеграл астында шекке көшу. Лебег жəне Риман интегралдарын салыстыру

10-Дəріс. Қосындылы функциялар.

10.1. Теріс емес функциялардың интегралы

10.2. Жалпы жағдайдағы Лебег интегралы

11-Дəріс. Функциялардың Лебег кластары.

11.1. L _p [a, b], p ≥ 1 – класы

12-Дəріс. Өзгеруі шенелген функциялар.

12.1. Анықтамалар мен теоремалар

13-Дəріс. Стильтьес интегралы.

13.1. Стильтьес интегралының анықтамасы, алғашқы қасиеттері

13.2. Стильтьес интегралы астында шекке көшу

14-Дəріс. Кесіндіде абсолют үзіліссіз функциялар жəне анықталмаған Лебег интегралы.

14.1. Абсолют үзіліссіз функциялар

14.2. Лебегтің анықталмаған интегралы

15-Дəріс. Бірнеше айнымалы шамалардың өлшемді функциялары жəне олардың интегралдары.

15.1. Өлшемді функциялар

15.2. Фубини теоремасы

Кіріспе

Нақты анализде Лебег интегралы, қосындылы функциялардың Лебег кластары түсініктер бірінші рет қарастырылады. Бұл түсініктерсіз қазіргі математика мен оның ішінде толық қанды дифференциалдық теңдеулер теориясымен танысу мүмкін емес. Себебі, кең алқымды дифференциалдық теңдеулер қарастырылып функционалдық кеңістіктер Лебег кластарына негізделген. Сонымен, нақты анализ университеттер қабырғасында , сызықтық алгебра, геометрия, математикалық анализ пəндерімен қатар, негізгі курстардың бірі. Нақты анализден мемлекеттік тілдегі оқулықтар жоқтың қасы. Ұсынылып отырған материалдар қазақ тілді студенттерге бірінші қатардағы «жедел жəрдем» болып табылады. Көптеген тұжырымдардың уақыт талап ететін дəлелдеулерін берілген сілтемелер бойынша орыс тіліндегі оқулықтардан табуға болады.

1-Дəріс.

Жиындар

Негізгі терминдер — Ашық, тұйық жиындар, жиындардың эквиваленттілігі, қуаты.

Саналымды жиын.

Мақсат — Жиындардың негізгі қасиеттерімен танысу.

1.1. Сандардың жиындары.

Өмірде белгілі бір ортақ қасиеті (қасиеттері) бойынша алынған нəрселердің (заттардың) жиындары кездеседі. Біздің курсымызда негізінен математикалық объектілердің, олардың ішінде сандардың жиындары, кейініректе функциялардың жиындары қарастырылады. Мысалы 1) N = {1,2,...n,...} – натурал сандар жиыны, 2) Z = {...,−2,−1,0,1,2,...} – бүтін сандар

жиыны. Жиын құрайтын нəрселер (заттар) жиының элементтері деп аталады. Əлбетте жиын бас (үлкен) əріппен белгіленеді, ал ирек жақшалардың ішінде жиынның элементтері, немесе элементтерінің бəріне ортақ белгі жазылады.

Қандай болмасын x затының А жиынының құрамында екендігі x ∈ A (∈ тиістілік

символы) түрінде, оның А-да жоқ екендігі x ∉ A (немесе ∈ A ) түрінде жазылады. Мысалы, 5 ∈ Ν , − 5 ∉ Ν

Бірде бір элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады, ол Ø түрінде белгіленеді.

Егер А жиынының элементтері түгелімен В жиынында жатса, яғни əрбір x ∈ A элементі

2. жиынында да x ∈ B болса, онда А жиыны В-ның ішжиыны деп аталады, оны А ⊂ В ,

немесе В ⊃ А түрінде жазылады. Əруақытта А ⊂ А , яғни əр жиын өзінің ішжиыны. Егер

• ⊂ В жəне В ⊂ А болса, онда олар өзара тең А=В дейміз.

	m
Мысалдар: 3) Рационал сандар жиыны Q = x : x =		, n, m ∈ Ζ	Ν ⊂ Ζ ⊂ Q
	n

4. Иррационал сандар жиынын J деп, барлық нақты сандар жиынын R десек, онда J ⊂ R .

5)Барлық комплекс сандар жиыны C = {z = x + iy, x, y ∈ R,i² = −1}