2. Стационарное уравнение Шредингера.
С
учетом наличия у микрочастицы волновых
свойств ее состояние в квантовой механике
задается с помощью некоторой фу-и
координат и времени
(x,y,z,t), называемой волновой или
– функцией.
Квадрат модуля волновой функции пропорционален вероятности нахождения частицы в данной области пространства. Вероятность обнаружить частицу во всем бесконечном пространстве равна единице. Отсюда следует условие нормировки волновой функции:
(1)
Величина
является плотностью распределения
вероятностей.
Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция , характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой во всем пространстве.
Уравнение для нахождения – функции было найдено Э.Шредингером:
(2)
где
i - мнимая единица (
=
–1); m - масса частицы; ∆ − оператор
Лапласа, который
в
декартовой системе имеет вид ∆=
, тогда
=
U(x,y,z,t) – потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле в точке (x,y,z).
Справедливость
этого уравнения установлена тем, что
все вытекающие из него следствия
подтверждены экспериментом. Если функция
U не зависит явно от времени, то она имеет
смысл потенциальной энергии микрочастицы.
Вид
функции для конкретной микрочастицы
определяется именно потенциальной
энергией U. В этом случае уравнение
Шрёдингера несколько упрощается, так
как его решение можно искать методом
разделения переменных, т.е.
– функцию можно представить в виде
произведения двух сомножителей, один
из которых зависит только от координат,
а другой − только от времени, причем
временной сомножитель будет одинаковым
для любых волновых функций:
(x,y,z,t)
=
(x,y,z)
(3)
где Е – полная энергия частицы.
Подставим полученное выражение для Y – функции в уравнение (2):
-
после деления уравнения на множитель
имеем:
-
(4)
Полученное соотношение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний и играет большую роль в квантовой механике. Это уравнение часто записывают в виде:
(E-U)
(5)
В стационарных состояниях ни одна из квантово-механических вероятностей не изменяется с течением времени. Средние значения всех физических величин также не зависят от времени. В частности, постоянным во времени оказывается среднее значение координаты <x>. Стационарность состояния не исключает зависимость волновой функции от времени, а только ограничивает ее множителем .
Состояние (3) стационарно, так как модуль множителя равен единице, то есть
=
Поэтому плотность распределения частиц в пространстве
от времени не зависит. В стационарном состоянии плотность вероятности выражается только через функцию (x,y,z) . Поэтому функцию (x y,z) также называют волновой функцией, хотя, строго говоря, она является только координатной частью всей волновой функции (x,y,z,t) стационарного состояния.