I.2.3. Эвристика Папа

Интересным источником, связанным с эвристикой, является «Математический сборник» греческого математика Папа (ок. 300 г. н. э.). В его VII томе он рассуждает об отрасли науки, которую в переводе с греческого можно трактовать как эвристику.

Исходным пунктом его анализа является то, что требуется доказать, что задача уже решена. Из этой задачи делались выводы, их этих выводов делались другие выводы и т.д. до тех пор, пока не приходили к такому выводу, который можно использовать как начало синтеза, ибо при анализе считают уже выполненным то, что по условиям задачи требуется сделать (искомое – уже найденным; то, что требуется доказать – доказанным). Определяют, из какого предшествующего вывода можно получить интересующий вывод, затем вновь определяют, из какого вывода можно получить этот предшествующий, и т.д., переходя от одного вывода к предшествующему, вызвавшему его, пока не приходят к такому выводу, который был получен раньше или принимается за истину. Этот прием называется аналогией или решением задач до конца, или регрессивным рассуждением.

При синтезе, меняя порядок этого процесса, начинают с последнего вывода анализа, с того, что уже известно или принимается за истину. Беря известное за исходный пункт, делается тот вывод, который предшествовал при анализе, и продолжают таким образом делать выводы, пока, идя обратно по пройденному при анализе пути, не приходят к тому, что требуется доказать. Этот прием называется синтезом или конструктивным решением, или прогрессивным рассуждением.

Различаются два вида анализа. Один тип анализа – решение «задач на доказательство». Он ставит себе целью установление истинных теорем. Другой тип анализа – анализ решения «задач на нахождение». Этот вид анализа имеет своей целью найти неизвестное.

Очевидно, что приемы Папа ни в коем случае не ограничиваются математическими задачами. Эти приемы интеллектуальной деятельности имеют всеобщий характер и не зависят от предмета исследования. Интересную нематематическую интерпретацию описанных у Паппа приемов анализа и синтеза дал Д. Пойа.

Рассмотрим конкретный пример. Первобытному человеку необходимо перейти достаточно глубокий ручей. Обычным путем он это сделать не может. Таким образом, переход становится проблемой, где «переход ручья» является неизвестным х этой проблемы. Человек, возможно, вспомнит, что когда-то он переходил другой ручей по повалившемуся дереву. Он начнет осматриваться, чтобы найти такое повалившееся дерево, которое становится новым неизвестным у. Предположим, что ему не удалось обнаружить такое дерево. Однако вдоль ручья стоят другие деревья. Естественно, ему захочется, чтобы одно из них упало. Сможет ли он заставить дерево упасть поперек ручья? Это замечательная идея! Но возникает новое неизвестное z: каким образом повалить дерево поперек ручья?

Такой ход мыслей, в терминологии Папа, следует назвать анализом. И действительно, этот первобытный человек может стать изобретателем моста и топора, если ему удастся завершить свой анализ. Что же будет в таком случае синтезом? Претворение этих идей в действие. Завершающим этапом синтеза будет переход по дереву через ручей. Одни и те же элементы составляют анализ и синтез. При анализе упражняется ум человека, а мускулы – при синтезе. Анализ заключается в мыслях, синтез – в действиях. Есть еще одно различие – противоположность порядка. Обобщая, можно сказать, что анализ есть изобретение, синтез – исполнение, анализ – составление плана, а синтез – его осуществление.