Классификация функций по их свойствам

1. Четность. Функция называется четной (нечетной) если и

График четной функции симметричен относительно оси ординат OY, так как с каждой точкой графику функции принадлежит точка . График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0;0), так как с каждой точкой графику функции принадлежит точка

1. Сумма (произведение) четных функций есть функция четная.

2. Сумма нечетных функций есть функция нечетная

3. Произведение четного (нечетного) числа нечетных функций есть функция четная (нечетная)

4. Сумма четной и нечетной функции есть функция не являющаяся ни четной, ни нечетной

5. Всякую функцию, определенную на симметричном относительно начала координат множестве можно представить в виде суммы четной и нечетной функции

2. Ограниченность. Функция называется ограниченной в области определения снизу (сверху, ограниченной) если ограничено множество ее значений . Аналогично определяются неограниченные снизу (сверху, неограниченные) функции . Примеры.

3. Монотонность. Функция называется строго возрастающей (возрастающей или неубывающей) на множестве М, если .

Функция называется строго убывающей (убывающей или невозрастающей) на множестве М, если . Убывающие или возрастающие на всем множестве М функции называются монотонными (строго монотонными).

Для исследования на монотонность по определению необходимо:

Примеры: 

1. Сумма возрастающих функций есть функция возрастающая

2. Если является возрастающей (убывающей), то функция является убывающей (возрастающей)

3. Если является возрастающей (убывающей) и сохраняет постоянный знак, то является убывающей (возрастающей)

4. Если возрастают и положительны, то их произведение есть функция возрастающая.

1. Периодичность. Функция называется периодической, с периодом , если

Примеры периодических функций:

1. Если являются периодами для функции , то число также является периодом для функции .

2. Если является периодом для функции , то также является периодом функции .

Основные элементарные функции

1. Степенная функция , где – действительное число.

Приведем графики некоторых степенных функций:

1) y=х ( ) 2) y=х^α ( )

3) y=x³ ( ) 4) ( )

5) ( )

2. Показательная функция где .

3. Логарифмическая функция y= , где a>0, .

4. Тригонометрические функции: y=sinx, y=cosx, y=tgx

Правила преобразования графиков функций:

1. График функции получается из графика функции путём сдвига вдоль оси на единиц вверх при , или на единиц вниз при .

2. График функции получается из графика функции путём сдвига вдоль оси на единиц влево при , или на единиц вправо при .

3. График функции получается из графика функции путём растяжения вдоль оси в раз при , или сжатия в раз при .

4. График функции получается из графика функции путём сжатия вдоль оси в раз при , или растяжения в раз при .

5. График функции получается из графика функции путём симметричного отражения относительно оси .

6. График функции получается из графика функции путём симметричного отражения относительно оси .