Классификация функций по аналитическому выражению

Все функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Функция называется алгебраической, если существует такой многочлен P(x;y)=0, такой что

Среди алгебраических функций выделяют:

1. Целые рациональные функции: функции, заданные целыми рациональными выражениями (независимая переменная, операции сложения, умножения, деление на число) – многочлены n-ной степени:

2. Дробно – рациональные функции: функции, заданные дробно-рациональными выражениями (независимая переменная, операции сложения, умножения, деление на переменную) – общий вид:

3. Иррациональные функции: функции, заданные с помощью иррационального выражения (добавляется операция извлечения корня n-ной степени из неизвестной)

Трансцендентные функции: функции, заданные с помощью трансцендентных выражений (cos x, sin x, tg x, ctg x, lg x, и т.д.)

Функции подразделяют также на основные элементарные, элементарные и неэлементарные. К основным элементарным функциям относятся следующие функции:

1. Степенная функция у = х^а (а - постоянное действительное число). При а=0 степенная функция есть постоянная величина у=1; при а=1 получается функция у=х (прямая пропорциональная зависимость). Если а=2, то степенная функция у=х² является квадратичной, а если а=-1, то получается обратно пропорциональная зависимость .

2. Показательная функция у = а^х (а – постоянное положительное число, ). Особую роль в математике играет показательная функция с основанием е, то есть функция у = е^х. Число е - иррациональное число (так же, как и число  - иррациональное), его можно записать в виде бесконечной непериодической дроби: е=2,7182818284590.... Функцию у =е^х называют экспоненциальной функцией. Иногда эту функцию записывают и так: у=exp x.

3. Логарифмическая функция у = log_a х (а - постоянное положительно число, ). На практике часто используются логарифмы по основанию а=10 или десятичные логарифмы. Для десятичного логарифма принята сокращенная запись lg х. Основание а=е также играет особую роль (как и показательных функциях), поэтому логарифм по основанию а=е обозначают специальным образом ln х и называют натуральным логарифмом числа х.

4. Тригонометрические функции у=sin х, у=соs х, у=tg х, у=ctg х, у=sec x, у=соsec х. Напомним, что функции , , функция секанс x и функция косеканс х.

5. Обратные тригонометрические функции у=arcsin х, у=arccos х, у=arctg х, у=arcctg x.

Функции, которые получаются из основных элементарных функций помощью конечного числа арифметических операции (сложения, вычитания, умножения, деленияи извлечения корня n-ной степени) и композиции функций, называются элементарными функциями.

Композицией функций (функцией от функции, сложной функцией) называется функция или аргументом которой является некоторая элементарная функция , x – независимая переменная.

Примеры сложных функций: у=соs2х, у=sinx², y=sin²x.

Заметим, что функции у=[х] и у=sgn х не являются элементарными в смысле определения, данного выше.