Курс "Математический анализ" КГУ - 2015 преподаватель Михащенко Т.Н.

Лекция 2. Действительная функция действительной переменной

Пусть заданы два множества произвольной природы А и В, и задан закон (f) по которому каждому элементу множества А соответствует один элемент множества В, тогда говорят, что задано отображение множества А в В.

Действительной функцией действительной переменной называется отображение множества (подмножества D) действительных чисел во множество (подмножество E) действительных чисел. Функцию обычно обозначают латинской буквой и записывают так: у=f(х).

Множество D называют областью определения функции, а его элемент х – аргументом (независимой переменной). Множество E называют областью значений функции, его элемент у – функцией (значением функции, зависимой переменной).

Способы задания функций

1. Аналитический: состоит в задании функции с помощью формулы или аналитического выражения.

• Явное задание функции

1) с помощью одного аналитического выражения: , под областью определения понимают естественную область определения функции;

2) с помощью нескольких аналитических выражений , под областью определения понимают объединение областей определения всех функций

3) в другой системе координат (полярной): ,

О

Примеры: спираль Архимеда ,

окружность где R – радиус окружности;

кардиоида и др.

Связь полярной и декартовой систем координат выражается системами уравнений

При построении графика функции в полярной системе координат бывают полезными следующие утверждения:

• если , график симметричен относительно полярной оси;

• если , график симметричен относительно полюса;

• если - линия замкнута;

• если , тогда кривая состоит из n частей, получаемых друг из друга поворотами на углы вида .

• Неявное задание функции: задание функции с помощью уравнения с двумя переменными F(x;y)=0. Пример: – уравнение окружности с центром в точке (0;0) и радиусом R; неявное уравнение эллипса , где a и b – полуоси, неявное уравнение астроиды .

• Параметрическое задание функции: обе переменные x и y выражаются через третью переменную – параметр t,

Уравнение окружности в параметрическом виде ,

Уравнение эллипса в параметрическом виде ,

Уравнение циклоиды в параметрическом виде ,

Уравнение астроиды в параметрическом виде ,

2. Табличный: состоит в задании функции с помощью таблицы .

3. Графический: состоит в задании функции с помощью графика. Графиком функции называется множество точек, вида (x;f(x)). График функции представляет собой некоторую кривую на плоскости, но не всякая кривая является графиком какой-либо функции. Например, единичная окружность не является графиком функции, так как любому соответствуют два различных значения у.

4. Словесный (описательный): задание функции с помощью указания какого-либо характеристического свойства, которым обладают ее значения.

Пример 1: Функция у равна целой части (действительного) числа х, то есть равна наибольшему целому числу, не превосходящему х. Целую часть числа х принято обозначать [х] (антье икс). Из определения антье следует, что . Воспользовавшись обозначением антье, данную функцию можно задать и аналитически: у=[х]. Наконец, эту же функцию можно задать графически: (стрелочки означают, что правые концы отрезков не принадлежат графику (а левые принадлежат).

Функция, в которой каждому x соответствует его дробная часть, называется дробной частью числа .

Пример 2. Функция у равна 1, если х - положительное число, равна -1, если х - отрицательное число, равна 0, если х=0. Эта функция имеет специальное обозначение у=sgn х (сигнум икс). Ту же функцию можно задать и аналитически, причем разными формулами:

или

Наконец, для функции y=sgn x можно построить график:

Пример 3: Функция Дирихле или