Радиус кривизны плоской кривой
Любая линия является кривой, даже прямая. Поэтому к любой линии применимы такие характеристики как кривизна или радиус кривизны. Как правило кривизна обозначается латинской литерой k, а радиус кривизны греческой литерой ρ.
Между собой эти характеристики кривой связаны следующим образом:
k = 1/ρ (542.1)
Т.е. чем больше радиус кривой, тем меньше ее кривизна.
А теперь рассмотрим несколько частных случаев кривых.
Радиус кривизны окружности
Окружность - это плоская кривая с постоянным радиусом кривизны. Т.е. радиус окружности это и есть радиус кривизны окружности:
Rокр = ρ (542.2)
Как определить радиус окружности, мы рассмотрим ниже.
Кривизна дуги
Любая дуга - это часть окружности. Соответственно радиус дуги равен радиусу окружности:
Рисунок 542.1. Дуга - часть окружности
На рисунке 542.1 мы видим дугу АВ, показанную оранжевым цветом, являющуюся частью окружности с радиусом R. Кроме того, мы видим, что угол α, образованный радиусами в точках А и В, равен углу между касательными (показаны фиолетовым цветом) к окружности в этих точках.
Эти закономерности позволяют определить радиус дуги и найти центр окружности даже тогда, когда изначально мы окружность не видим, а только имеем дугу.
Понятие кривизны дуги формулируется так:
Кривизна дуги - это отношение угла между касательными, проведенными в начале и конце дуги, к длине дуги
Т.е. зная длину дуги m и угол α между касательными, мы можем определить кривизну дуги:
kд. = α/m (542.3)
А так как длина дуги зависит от угла между радиусами или между касательными в концах дуги:
m = Rα (542.4)
то, подставив значение длины дуги в уравнение (542.3), получим:
kд. = α/m = α/Rα = 1/R (542.1.2)
Примечание: При измерении угла между касательными не в радианах, а в градусах уравнение длины дуги имеет другой вид:
m = ПRα/180 (542.4.1)
но сути дела это не меняет. Такая запись по-прежнему означает, что мы рассматриваем часть длины окружности. Так при α = 360° дуга становится окружностью
m = ПR360/180 = 2ПR = lокр. (542.4.2)
Более того, сама идея радианов на этой формуле и основана, так прямой угол 90° = П/2, развернутый 180° = П и т.д.
И еще одно интересное свойство дуги: Если соединить точки А и В прямой линией, то угол между этой линией и касательными будет равен α/2, а сама прямая линия - это и есть расстояние между точками А и В. Если дуга расположена в плоскости соответствующим образом, например так, как показано на рисунке 542.2:
Рисунок 542.2. Дуга из точки начала координат.
то расстояние между точками - это проекция l дуги на ось х. А максимальное расстояние между дугой и осью х - это стрела дуги h.
Радиус кривизны прямой линии
Любая прямая линия, даже бесконечно длинная, может рассматриваться как бесконечно малая часть окружности, т.е. как дуга. Соответственно в каких единицах измерять радиус такой окружности даже трудно представить.
Поэтому обычно прямой линией называют кривую с бесконечно большим радиусом:
ρп.л. = ∞ (542.5)
kп.л = 1/∞ = 0 (542.6)
Про до сих пор неразрешенный парадокс, возникающий при подобных подходах к прямой линии и к окружности, я уже упоминал в статье "Основы геометрии. Определения основных элементов, пятый элемент". Здесь лишь добавлю, что через прямую линию можно провести бесконечное множество плоскостей и в любой из этих плоскостей радиус кривизны прямой линии будет равен бесконечности. При этом через окружность можно провести две взаимно перпендикулярные плоскости, в одной из которых окружность будет окружностью, а в другой - прямой линией конечной длины. Поэтому