Вероятность n аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра λτ согласно распределению Пуассона

N	0,1	0,2	0,3	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
0	0,905	0,819	0,741	0,607	0,368	0,135	0,050	0,018	0,007
1	0,091	0,164	0,222	0,303	0,368
2	0,0045	0,016	0,033	0,076	0,184	0,271
3	0,0002	0,0011	0,0033	0,013	0,061	0,180	0,224
4		0,0001	0,0003	0,0016	0,015	0,090	0,168	0,195
5				0,0002	0,003	0,036	0,101	0,156	0,176
	0,095	0,181	0,259	0,393	0,632	0,865	0,950	0,982	0,993

Рис. 8. Вероятность аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра λt

Закон Пуассона является частным (предельным) случаем биномиального распределения при большом числе маловероятных событий. В связи с этим формулу Пуассона называют законом редких явлений. На рис. 9 показано распределение Пуассона для нескольких значений λτ, из которого видно при больших значениях λτ (λτ ≥10) распределение приближается к нормальному распределению при .

(49)

Рис. 9. Распределение Пуассона для шести значений λt

Закон Пуассона широко используют на практике, применительно к различным областям техники и природным процессам, в частности, в теории надежности, при проверке качества, при прогнозировании сейсмического риска и др. 3акон Пуассона применим также к событиям (авариям), разбросанным на площадях. В этом случае параметр λ имеет смысл средней плотности, отнесенной не к временному интервалу, а к некоторой площади.

Е Феллер (по данным P.D.Clarке) приводит пример исключительно хорошего согласия с распределением Пуассона реальной статистики падений самолетов-снарядов в южной части Лондона в период второй мировой войны. Такое согласие установлено при подсчете числа К падений, приходящихся на каждый из N = 576 одинаковых участков территории, каждый площадью S=0,25 км². При общем числе снарядов Т = 537 число участков N_k, на которое приходилось по К падений (среднее число λS= T/N = 0,9323), дано в табл. 18 в сравнении со значениями вероятностей P(k; 0,9323), подсчитанных по формуле Пуассона.

Таблица 18

Сравнение статистики падения самолетов-снарядов с соответствующим распределением Пуассона

Число падений k	0	1	2	3	4	5	≥5
Число участков Nk, Q(k; 0,9323) 576 Q(k; 0,9323)	299 0,3936 226,74	2111 0,3670 211,39	93 0,1711 98,54	35 0,0532 30,62	7 0,0124 7,14	0,0023 1,33	1

Оценку надежности производственных установок и различай аппаратуры, а также обслуживания персоналом можно провести с использованием биноминального распределения подсчетом вероятности как частоты r успешных событий (например, пусков и т.п.) при их общем числе п. Доверительный интервал для фактической вероятности P_T определяется уравнением

(50)

где Р – нижняя граница искомой надежности Р_T; α – достоверность того, что фактическая вероятность Р_T находится в интервале Р ... 1. Значения вероятности Р_T при достоверности α=0,8 приведены в табл. 19 для трех значений п.

Таблица 19