Раздел 4. «Применение интегрального исчисления»

Информационные материалы для выполнения задания практической работы

Определение 1. Функция называется первообразной для функции , если .

Пример 1. Функция - первообразная для функции , так как , т.е

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается . Таким образом

Определение 3: Интегрирование – это процесс нахождения первообразных.

Интегрирование – действие обратное дифференцированию ( нахождение производных).

Для вычисления интегралов пользуются таблицей интегралов. ( Приложение 3)

Свойства неопределенного интеграла:

1. a- const, a 0; постоянный множитель выносят за знак интеграла

Пример 2. +С

2.

_{Пример 3.} = +С

_{3. интеграл « сложной» функции}

Пример 3. Найдите .

Решение. Видим, что под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В нашем примере в качестве аргумента выступает угол 2х. Выделим коэффициент k, стоящий перед х: k = 2, следовательно, в правую часть мы должны ввести множитель , то есть . Тогда получим, что .

Примеры: Вычислить интеграл:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. _{(« сложный» интеграл, k = 0,5)}

Определение 1. Определённым интегралом ( интегралом от а до b) функции f(x) называется приращение первообразной, т.е.

Числа а и b называются соответственно нижней и верхней границами интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, отрезок [a;b] – областью (отрезком) интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла:

1. (k – const).

2. = ± .

3. = .

= - формула Ньютона-Лейбница

Пример 1. Вычислите .

Решение:

.

Пример2.

Определение1. Фигура, ограниченная снизу отрезком оси ох, сверху графиком функции , с боков отрезками х=а, х=b, называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции находится по формуле Ньютона-Лейбница, т.е.

Пример 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Р ешение. 1. Построим фигуру, ограниченную графиками функций и (рис. 1). Линия, задаваемая уравнением - прямая. Построим ее по двум точкам.

Линия, задаваемая уравнением - парабола, ветви которой направлены вверх. Построим ее методом преобразований: выполним параллельный перенос графика функции на 1 единицу вверх.

Получили фигуру, ограниченную двумя графиками функций (заштрихована на рис. 1). Её площадь можно вычислить по формуле:

S= , где f(x) – функция, ограничивающая фигуру "сверху" ( ), а g(x) - функция, ограничивающая фигуру "снизу" ( ).

Пределы интегрирования а и b в данном случае можно определить по рисунку. Следовательно, а=-1, b=2.

Составим формулу для вычисления площади искомой фигуры: S= .

3. Вычислим значение площади: S= = = =

= = = =

= = = = = 4,5.

Ответ: S =4,5 кв.ед.

Объём тел вращения вокруг оси абсцисс вычисляется по формуле:

Пример 1 Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями  ,   вокруг оси   .

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси   В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси 

Пример 2 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ  фигуры, ограниченной линиями  ,  ,х = 0, х = 1.

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси   получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси   получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через  .

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси  , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через  .

И, очевидно, разность объемов   – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения: 

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой  , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой  , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения: 

Ответ: