Тема 3. « Исследование функций и построение графиков»

Алгоритм исследования функций:

Пример 1:Постройте график функции .

Решение. 1. Данная функция определена на всей числовой прямой за исключением х=3, т.к. в этой точке знаменатель обращается в ноль.

2. Для определения четности и нечетности функции найдем :

= = . Видим, что и , следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

3. Найдем точки пересечения с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью Ох примем у=0. Получим уравнение: . Итак, точка (0; 0) – точка пересечения с осями координат.

4. Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби: = = = = .

5. Для нахождения критических точек первого рода найдем точки, в которых производная функции равна 0 или не существует.

, если =0, следовательно, . Произведение тогда равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0: или .

не существует, если знаменатель (х-3)² равен 0, т.е. не существует при х=3.

Итак, функция имеет три критические точки первого рода: ; ; .

На числовой оси отметим критические точки первого рода, причем точку отмечаем выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.

Расставляем знаки производной = на каждом промежутке:

т.max

На промежутках, где , исходная функция возрастает (при (-∞;0] ), где - убывает (при [0;3) (3;6]).

Точка х=0 является точкой максимума функции..

Точка х=6 является точкой минимума функции.

6. Найдем вторую производную функции как производную от первой производной: = =

= .

Вынесем в числителе х-3 за скобки и выполним сокращение:

= .

Приведем в числителе подобные слагаемые: .

7. Найдем критические точки второго рода: точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует.

0, если =0. Данная дробь не может равняться нулю, следовательно, точек, в которых вторая производная функции равна нулю, нет.

не существует, если знаменатель (х-3)³ равен 0, т.е. не существует при х=3.

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода: .

Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

На числовой оси отметим критическую точку второго рода выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.

Расставляем знаки второй производной на каждом промежутке:

На промежутках, где , исходная функция вогнута (при (3;+∞)), где - выпукла (при (-∞;3)).

Точка х=3 не является точкой перегиба графика функции, т.к. в ней исходная функция не определена.

8. Найдем асимптоты графика функции.

8.1. Поскольку область определения функции – все действительные числа за исключением х=3, то проверим, является ли прямая х=3 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х=3: .

Получили, что , следовательно, х=3 - вертикальная асимптота.

8.2. Для поиска горизонтальных асимптот находим :

b = . Т.к. b – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

8.3. Для поиска наклонных асимптот находим :

= = =1.

Итак, 1. Найдем bпо формуле: .

b= = = = .

Получили, что b= 3. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: у=x+3.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х=3 и наклонную асимптоту у=x+3.

9 .

х	-1	0	1	3	4	6	8
у	-0,3	0	-0,5	-	16	12	12,8
		т.max		Верт. асим.		т.min

, ,

10. По результатам исследования и точкам строим график функции.