Тема 3. « Применение первого замечательного предела»

- первый замечательный предел

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой, если .

Определение 2. Две бесконечно малые функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при , если . Обозначается .

Пример 1. - бесконечно малая,

- бесконечно малая. . Вывод: .

Пример 2. Найдём предел  . Заменим бесконечно малую функцию числителя эквивалентной функцией  , где  :

Информационные материалы для выполнения задания практической работы

- второй замечательный предел

Пример 1. Вычислите .

Решение. Постараемся преобразовать выражение под знаком предела таким образом, чтобы прийти ко второму замечательному пределу. Необходимо, чтобы числитель дроби был равен 1. Для этого разделим числитель и знаменатель данной дроби на 3; получим дробь вида: . Теперь постараемся преобразовать показатель степени 5х таким образом, чтобы в нем можно было выделить множитель (2х/3). Для этого 5х домножаем на 2 и 3 и делим на 2 и 3:

.

П

е

Определение 1. Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только слева от точки х_о, то такой предел называется левосторонним и обозначается .

Определение 2. Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только справа от точки х_о, то такой предел называется правосторонним и обозначается .

Пример 1.Вычислите односторонние пределы функции

в точке .

Решение. Для нахождения левостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, меньшие -2. Но при <-2 наша функция задается формулой . Таким образом, получим: .

При нахождении правостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, большие -2. Но при > -2 наша функция задается формулой . Таким образом, получим: .

Ответ =2, =0.

Определение 3. Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х_о, если она определена в ней, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. .

Определение 4. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение 5. Точка разрыва х_о называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы,

т.е. и .

Определение 6. Если А₁ = А₂, то точка х_о называется точкой устранимого разрыва.

Определение 7. Точка разрыва х_о называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел не существует или равен бесконечности.

Пример 2. Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически:

Решение: Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: и . Они существуют и конечны. Следовательно, точка является точкой разрыва I рода функции. Поскольку односторонние пределы не равны друг другу, точка будет точкой устранимого разрыва.

Ответ: - точка разрыва функции I рода (точка устранимого разрыва).

Пример 3. Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически:

Решение: Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: и . Они существуют , и оба равны бесконечности. Следовательно, точка является точкой разрыва II рода функции.

Ответ: - точка разрыва функции II рода.

Пример 4. Найдите точки разрыва функции у= и определите их род.

Решение. Функция у= является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения.

Найдем D(у): х²-1≠0; х≠1 и х≠-1. Получили, что точки и являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем односторонние пределы функции в указанных точках.

Для точки , следовательно, - точка разрыва II рода.

Для точки ,

. Следовательно, - точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то – точка устранимого разрыва. Положив у= при , разрыв устранится, функция станет непрерывной

Ответ: - точка разрыва функции II рода,

- точка разрыва функции I рода.

______________________________________________________________________

Определение 8. Прямая, к которой неограниченно приближается график функции, называется асимптотой этой функции.

Пример 5. Найдите асимптоты графика функции

Решение: Найдём точки разрыва функции, для этого .

Д = 4,

1) вертикальная асимптота,

- вертикальная асимптота

2) -

у = 0- горизонтальная асимптота.

3) , наклонных асимптот нет.

Ответ: х = 3 и х = 1 – вертикальные асимптоты, у = 0 – горизонтальная асимптота.