Тема 1. « Вычисление пределов последовательностей»

Рассмотрим последовательность , , ,

. Если n стремится к ( ), мало отличается от нуля, т.е. . Записывают:

- сокращение латинского слова limes, означающего «предел».

Определение 1. Число b называется пределом последовательности , если по мере возрастания номера n неограниченно приближается к b.

Если , то , т.е.

Определение 2. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Пример 1. Последовательность не имеет предела, так как , т.е. последовательность не стремится ни к какому постоянному числу.

Свойства пределов:

1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Для любого числа kпоследовательность {kа_n} также сходится, причем = .

3. Сумма (разность) а_n± b_nтакже сходится, причем = .

4. Произведение а_nb_nтакже сходится, причем = .

5. При дополнительном условии b≠0 частное также сходится, причем .

Определение 3. Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен 0.

Пример 2. , т.е. последовательность бесконечно малая

Определение 4. Последовательность называется бесконечно большой, если её предел равен .

Пример 3. , т.е. последовательность бесконечно большая

Теорема: Если последовательность бесконечно большая, то последовательность бесконечно малая и наоборот.

Пример 4. Найдите предел последовательности и охарактеризуйте её.

Решение: ,

последовательность ограничена снизу

Пример 5. последовательность бесконечно большая

1. Раскрытие неопределённости .

Надо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной.

Пример 1. Вычислите .3

Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х². Получим:

= =

Ответ: = .

2. Раскрытие неопределённости .

1 ) Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов и , то имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов и на множители, используя формулы сокращенного умножения

или формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

, где х₁ и х₂ – корни уравнения .

Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.

Пример 2. Вычислите .

Решение. Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель при подстановке вместо х значения 3: , .

Получили неопределенность вида .

Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного трехчлена. Составим уравнение и найдем его корни:

D= ;

; 3 или ; .

Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей: =

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: = .

Вернемся к исходному пределу:

= = .

Ответ: = .

2) Если под знаком предела стоит дробь вида , включающая иррациональную функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному.

Пример 3. Вычислите .

Решение. Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо х значение 0, получаем неопределенность вида , домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряженное знаменателю. Получим:

= .

В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:

.

Вынесем в знаменателе х за скобки и сократим дробь на х: .

Видим, что при подстановке х=0 числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:

= = =-8.

Ответ: =-8.