Тема 2.« Составление различных уравнений окружности».

Определение 1. Окружность- это линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от одной точки ( центра).

- центр окружности,

М (х; у) – точка на окружности

- радиус окружности ( R)

- уравнение окружности

, где - уравнение касательной к окружности.

Пример 1. Определите центр и радиус окружности, заданной уравнением

.

Решение: Сгруппируем выражения с одинаковой переменной:

. «Сделаем» полный квадрат в каждой скобке:

. « Свернём» по формуле квадрат суммы или разности: (3; -2)- центр окружности, R= .

Ответ: (3; -2), R=5.

Определение 1. Эллипс – это линия, состоящая из множества точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек ( фокусов) есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

АВ – большая полуось (2а), CD – меньшая полуось (2b),

- фокусное расстояние (2с) - фокусные радиусы (r)

A, В, С, D- вершины эллипса М (х; у) – некоторая точка эллипса

По определению эллипса

- каноническое уравнение эллипса,

Определение 2. Эксцентриситет эллипса ( ) – это отношение расстояния между фокусами к длине большей оси, т.е ( ).

Чем меньше эксцентриситет, тем эллипс ближе к окружности.

Пример 1. Составьте уравнение эллипса, проходящего через точки

А и В .

Решение: Уравнение эллипса имеет вид: . Подставим координаты точек, получим: Подставим значение в первое уравнение, получим: ,

. Подставим и в общее уравнение эллипса, получим

Ответ: .

Определение 1. Гипербола – это линия, состоящая из множества точек плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек ( фокусов) есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

а – действительная полуось, b – мнимая полуось.

Если а = b, то гипербола называется равносторонней.

- расстояние между фокусами.

- каноническое уравнение гиперболы,

, - эксцентриситет,

- уравнение асимптот.

Пример 1. Составьте уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами 20, .

Решение: . .

Подставим в формулу значения а и с, получим: .

Уравнение гиперболы имеет вид : . Подставим значения а и b, получим: . Ответ: .

Пример 2. Дано уравнение гиперболы . Найдите полуоси и эксцентриситет.

Решение: Приведём уравнение гиперболы к каноническому виду, т. е.

Эксцентриситет находим по формуле: , получим:

. Ответ: а = 3, b = .