Раздел 7. «Основы аналитической геометрии».

1. Уравнение с угловым коэффициентом.

, где k = а) если , то прямые параллельные

б) если , то прямые перпендикулярные.

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(2;1) и образует с осью абсцисс угол .

Решение: Найдём значения k и b. .

Подставим координаты точки М и в уравнение ,

получим: 1 = 1^.2 +b . Ответ: .

___________________________________________________________________

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки , .

Пример 2. Составить уравнение прямой, которая проходит через точки

А(3;1) и В(5; 4).

Решение: Подставим координаты точек в формулу, получим:

, 3(х -3) = 2( у – 1),

3х – 9 = 2у – 2,

3х – 9 +2 = 2у или 2у = 3х – 7

Ответ: у = 1,5х – 3,5.

_ _____________________________________________________________________

3. Общее уравнение прямой: Ах + Ву + С = 0, где А, В, С некоторые числа

а) если С = 0, то Ах + Ву = 0 прямая, проходящая через начало координат

б) Если В = 0, А 0, то х = прямая, параллельная оси У.

в) Если А = 0, В 0, то у = прямая, параллельная оси Х.

Пример 3. 12х – 5у – 65 = 0

-5у = -12х +65

у = 2,4 х – 13.

_____________________________________________________________________

4. Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору

, где М (х₀; у₀), .

Пример 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(-6; 1) параллельно вектору , где А (1; -1), С (3; 4).

Решение: Найдём координаты вектора АС, для этого из координат конца вычтем координаты начала: = .

Подставим координаты данной точки и вектора в формулу, получим:

5(х +6) = 2(у -1)

5х +30 = 2у – 2

2у = 5х + 30 +2

Ответ: у = 2,5х +16.

______________________________________________________________________

5. У равнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору.

, где М (х₀; у₀), .

Пример 5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(- 1; 3) перпендикулярно вектору .

Решение: Подставим координаты данной точки и вектора в формулу, получим: 2(х+1) – 5(у – 3)=0

2х + 2 – 5 у + 15 = 0

2х – 5у + 17 = 0.

Ответ: 2х – 5у + 17 = 0.

_____________________________________________________________________

Пример 6. Определите взаимное расположение прямых на плоскости:

а) L₁: 10х +5у + 6 = 0; L₂: 4у - 8х - 16 = 0.

б) L₁: 2х - 3у + 3 = 0; L₂: 4у + 6х - 16 = 0.

Решение: а) 5у = -10х -6 4у = 8х + 16

У = -2х -1,2 у = 2х + 4 .

, значит

Б) -3у = -2х – 3 4у = - 6х + 16

У = у = .

, значит .

Пример 7.. Дан АВС. А ( 2; 3), В(3; -1), С ( 1; 5), М – середина СА, МК ВС,

МД ВС . Составьте уравнение прямой: а) МК б) МД. в) АС.

В (3; -1)

К

Решение: а) МК ВС, Составим уравнение прямой МК , проходящей через точку М перпендикулярно вектору ВС.

М – середина АС, Чтобы найти координаты середины отрезка, надо сложить координаты концов отрезка и разделить на два: М .

Чтобы найти координаты вектора, надо из «конца» вычесть «начало» .

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид: . Подставим координаты точки М и вектора ВС, получим: -2(х – 1,5) + 6(у – 4) = 0, -2х + 3 + 6у – 24 = 0, 6у = 2х – 3 + 24,

Ответ: - уравнение МК.

Б) МД ВС. Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид: . Подставим координаты точки М(1,5; 4) и вектора , получим:

6х – 9 = -2у +8, 2у = - 6х +9 +8, у = -3х + 8,5.

Ответ: уравнение МД: у = -3х + 8,5.

В) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки имеет вид: .

Подставим координаты точек А ( 2; 3) и С ( 1; 5), получим:

2х – 4 = - у + 3, у = -2х + 4 + 3, у = - 2х + 7.

Ответ: уравнение АС: у = - 2х + 7.