Тема 5. «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Определение 1. Определитель называется главным, если составлен из коэффициентов при неизвестных.

Алгоритм решения систем уравнений методом Крамера

1). Вычислить главный определитель ( )

2 ) Найти определители , где получается из главного определителя путём замены i-го столбца столбцом свободных членов системы.

3) Найти неизвестные по формулам: , ….,

Пример 1. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений

(1)

Решение.

Вычислим главный определитель системы

Так как Δ ≠ 0, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Для этого найдем :

.

Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получим искомое решение системы: .

Ответ: (3; -5; 2)

О пределение 1. Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие: ( Е – единичная матрица)

Определение 2. Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю ( Если , то матрица вырожденная).

Т еорема: Если матрица невырожденная, то она имеет обратную матрицу, которая находится по формуле: ,

где - определитель матрицы А,

- алгебраические дополнения ( i- номер строки, j- номер столбца).

Алгоритм решения: 1) Вычислить определитель матрицы  . 2) Найти алгебраические дополнения

3) Составить матрицу алгебраических дополнений к элементам матрицы  4) Транспонировать матрицу алгебраических дополнений. 5) Каждый элемент матрицы разделить на  . Полученная матрица и будет обратной к исходной. 6) Проверка. .

Пример 1. Найдите обратную матрицу и выполните проверку:

Решение:1) Найдём определитель матрицы А:

2) Вычислим алгебраические дополнения:

3) Составим матрицу алгебраических дополнений

4) Транспонируем матрицу алгебраических дополнений.

5) Каждый элемент матрицы разделим на   . Полученная матрица и будет обратной к исходной.

6) Проверка.

Алгоритм решения систем в матричной форме:

1) Записать систему уравнений в матричном виде : АХ=В, где А-матрица коэффициентов перед неизвестными, Х – матрица-столбец неизвестных, В- матрица-столбец свободных членов

2) Найти обратную матрицу .

3 ) Найти неизвестные по формуле:

Пример 1. Решите систему уравнений в матричной форме.

Решение: Запишем систему иначе: _{, где} ,

Найдем , для этого вычислим определитель:

существует.

, ,

, ,

, ,

.

=

Проверка:

Ответ: (4,6; -7,8; 5).