Тема 4. «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

Определение 1. Система линейных уравнений (СЛУ)– это система, содержащая m уравнений с n неизвестными.

Систему можно записать в матричной форме:

, где ,

Определение 2. Матрица называется расширенной, если она дополнена столбцом

свободных элементов. Обозначается .

Определение 3: Совокупность чисел называется решением системы, если она обращает все уравнения в тождества.

Определение 4: Система совместна, если имеет хотя бы одно решение, и несовместна если не имеет ни одного решения.

Определение 5: Система неопределённая , если решений больше одного(бесконечно много).

Определение 6: Система уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю. ( Однородная система всегда совместна)

Определение 7: Две системы называются эквивалентными(равносильными), если они имеют одно и то же решение.

Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях матрицы над строками.

______________________________________________________________________

Решение систем методом Гаусса основано на последовательном исключении неизвестных.

Алгоритм решения систем методом Гаусса:

1) Записать расширенную матрицу системы линейных уравнений

2) Привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками.

3) А)СЛУ определённая и совместная (имеет одно решение), если матрица принимает треугольный вид (решение находят подстановкой)

Б) СЛУ неопределённая и совместная (имеет бесконечно много решений), если матрица принимает трапецеидальный вид.

В) решения нет ( система не совместна)

4). Найти неизвестные.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

Шаг 1. Для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

.

Так как , то умножаем первую строку на (-2) и складываем со второй, умножаем первую строку на (-1) и прибавляем к третьей строке, тем самым исключим переменную из всех строк, начиная со второй:

Шаг 2. Так как , то умножим вторую строку на (-3/5) и прибавим к третьей, таким образом исключим переменную из третьей строки:

.

Получили систему уравнений, соответствующую последней матрице:

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения ;

из второго уравнения найдем:

из первого уравнения : .

Ответ: (3; -5; 2).

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение: Расширенная матрица имеет вид: . Поменяем 1 и 2 строки

. Далее: 1стр ^. (-2)+2стр, 1стр ^. (-1) + 3 стр, 1 стр ^. (-5) + 4 стр.

Получим: . Разделим вторую строку на 2, третью на 3, получим:

. Вычеркнем 3 и 4 одинаковые строки, останется

. Запишем в виде системы: . Выразим из первого уравнения , а из второго уравнения , получим:

Подставим в первое уравнение, получим:

- общее решение системы, где и любые числа.

Пусть , тогда , значит

(6; -1; 0; 0) – частное решение

Ответ: - общее решение, (6; -1; 0; 0)- частное решение