Тема 2. «Выполнение элементарных преобразований матриц».

Элементарные преобразования матриц:

- Вычёркивание нулевой строки ( столбца)

- Перестановка строк ( столбцов)

- Умножение строки ( столбца) на число

Прибавление к строке (столбцу)другой строки (столбца), умноженную на некоторое число

Определение 1. Две матрицы называются эквивалентным, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Обозначение: А~В

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице ступенчатого ( треугольного) вида.

Пример 1.Привести к ступенчатому виду матрицу

1) 2) 3) 4)

Решение: ~ ~ ~ ~

Действия: 1) 1 строку поменяли со второй

2) 1 строку умножили на (- 4) и сложили со второй строкой,

1 строку умножили на 2 и сложили с третьей строчкой

3) 2 строку разделили на (-10), а третью строку разделили на 7.

4) 2 строку умножили на ( -1) и сложили с третьей.

Ответ: ~

Определение 1. Определитель( детерминант) – это число, полученное по особым правилам. Обозначение: det,

______________________________________________________________________

Определитель второго порядка.

Пример 1. .

______________________________________________________________________

Определитель третьего порядка.

1-й способ «Правило треугольников» :

1) перемножить числа на главной диагонали и по треугольникам, основания которых параллельны главной диагонали ( с «+»)

2) перемножить числа на побочной диагонали и по треугольникам, основания которых параллельны побочной диагонали (с « -»)

Пример 2.

2-й способ « Правило Саррюса»:

1) приписать справа первые два столбца или вниз первые две строчки

2) перемножить числа на главной диагонали и на параллельных ей прямых ( с «+»)

3) перемножить числа на побочной диагонали и на параллельных ей прямых ( с « - »)

Пример 3.

______________________________________________________________________

Свойства определителей:

1) Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот

,

2) При перестановки двух параллельных рядов, определитель меняет знак.

3) Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

4) Определитель не изменится, если общий множитель какой-либо строки вынести за знак определителя

5) Определитель не изменится, если с помощью элементарных преобразований над строками, привести его к ступенчатому виду. Если определитель ступенчатого вида, то его значение равно произведению элементов на главной диагонали.

, ~ ~

______________________________________________________________________

Определитель n-го порядка

Определение 2. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, который получается вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Обозначение : ( i – номер строки, j – номер столбца).

Определение 3. Алгебраическое дополнение – это число, которое вычисляется по формуле:

1-й способ нахождения определителя n-го порядка.

Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов какого-нибудь ряда (строки или столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 4. Вычислить определитель 4-го порядка .

Решение: Выберем третью строку для нахождения определителя.

( вычёркивали 3строку и 2 столбец)

(вычёркивали 3строку и 3 столбец)

.

.

Ответ: 122

2-й способ нахождения определителя n-го порядка.

С помощью уменьшения порядка, применяя свойства определителей

Пример 5. Вычислить определитель 4-го порядка .

Решение: Поменяем первую и четвёртую строки, при этом знак определителя поменяется. . Далее: 1стр + 2 стр, 1стр ^.(-3) +4стр.

. Вычеркнем 1строку и 1 столбец, останется определитель 3-го порядка: . Вынесем из третьей строчки (-2) и вычислим определитель:

.

Ответ: 122