Тема 2. «Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными»

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют вид: Алгоритм решения:

1) Выполнить замену ( если надо) :

2) Разделить переменные ( с «х» в одну часть, с «у» в другую часть уравнения).

3) Проинтегрировать обе части уравнения

Пример 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

. По таблице интегралов получим:

.

Ответ:

Пример 2. Найдите частное решение уравнения , если у(1) = 2.

Решение:

- общее решение. Подставим у(1) = 2 и найдём С: .

Ответ: - частное решение уравнения.

Определение 1. Линейными однородными дифференциальными уравнениями 2-ого порядка с постоянными коэффициентами называют уравнения вида . Алгоритм решения:

1. записываем характеристическое уравнение

2. находим корни характеристического уравнения и

если , то общее решение

если = , то общее решение

если , , т.е. комплексные, то общее решение

Пример 1. Найдите общее решение уравнения:

Решение: Составим характеристическое уравнение: и решим его.

Д = 1, . Так как , то общее решение уравнения имеет вид:

.

Ответ: .

Пример 2. Найдите общее решение уравнения:

Решение: Составим характеристическое уравнение: и решим его.

Д=-16, . Так как корни комплексные, то общее решение уравнения имеет вид: .

Ответ: .

Определение 1. Матрицей размера m×n называется таблица, имеющая m строк и n столбцов. - размер матрицы,

Определение 2.Если m ≠ n, то матрицу называют прямоугольной. Если m = n, то матрицу называют квадратной, порядка n.

Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

- элемент матрицы, где i – номер строки, j- номер столбца

Определение 3. Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. aij = bij

Определение 4. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ. , другая диагональ - побочная

Определение 5. Матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначают: E .

Определение 6. Матрица, у которой все элементы равны 0, называется нулевой.

Определение 7. Квадратная матрица называется ступенчатой (треугольной), если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Например:

Определение 8. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером называется транспонированной матрицей. Обозначение: .

Например: ,

Свойства:

1) (A^Т )^T = A ; 2) (A + B)^T = A^T + B^T ; 3) (αA)^T = αA^T ; 4) (A · B)^T = B^T · A^T .

______________________________________________________________________

Сложение ( вычитание) матриц.

! Данные действия возможны для матриц одинакового размера.

Надо сложить ( вычесть) соответствующие элементы матриц.

Пример 1. Выполните действия А + В, А – В, если , .

Решение:

Свойства:

1) A + B = B + A

2) (A + B) + C = A + (B + C)

3) A + O = A;

4) A + (–A) = O;

5) α ⋅ ( βA) = (α⋅β )A ;

6) ( α + β )A = α A + βA

7) α(A + B) = α A + αB

8) 1 ⋅ A = A.

______________________________________________________________________

Умножение матриц на число

Надо каждый элемент матрицы умножить на число.

Пример 2. Выполните действие 2А, если .

Решение:

______________________________________________________________________

Умножение матриц

! Данное действие возможно, если число столбцов 1 матрицы равно числу строк 2 матрицы.

Надо найти сумму произведений элементов строки 1-й матрицы на элементы столбца 2-й матрицы

Пример 3. Выполните действие , если , .

Решение: У матрицы А 4 столбца и у матрицы В 4 строки, значит умножение выполнимо.

Чтобы найти сам элемент c₁₁ нужно перемножить элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

c₁₁=−1⋅(−9)+2⋅6+(−3)⋅7+0⋅12=0.

c₁₂=−1⋅3+2⋅20+(−3)⋅0+0⋅(−4)=37.

Далее аналогично: строка № 2 умножается на столбец № 2

строка № 3 умножается на столбец № 1

строка № 3 умножается на столбец № 2

В итоге получим:

= =

Свойства :

1) AE = EA = A , AO = OA = O;

2) (AB)C = A(BC) ;

3) (A + B)C = AC + BC ;

4) C(A + B) = CA + CB

Определение 9. Если АВ = ВА, то матрицы называются перестановочными

Пример 4. Найдите АВ и ВА, если ,

Решение:

. АВ = ВА , следовательно матрицы перестановочные