Тема 6. «Вычисление неопределенных интегралов методом интегрирования по частям»

При вычислении интеграла методом по частям подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух множителей u и dv, причем dх обязательно входит в dv. Далее пользуются формулой интегрирования по частям: .

1. В интегралах вида , , , , где Р(х) – многочлен, k- const, за и принимают многочлен Р(х), остальные множители – за dv.

2. Если в подынтегральной функции один из множителей - логарифмическая или обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx), то их обозначают за и, остальные множители – за dv.

Для нахождения неопределенного интеграла методом по частям используйте следующий алгоритм:

1. Разбейте подынтегральное выражение на u и dv (в соответствии с правилом, рассмотренным выше).

2. Найдите dи = и'dx и .

3. Подставьте u, v, dи и dv в формулу и возьмите получившийся интеграл.

Пример 1. Найдите .

Решение. 1. Поскольку под знаком интеграла встречается логарифмическая функция, то ее принимаем за u:

Пусть u=lnx, тогда dи=(lnx)'dx= . dv=хdx, тогда =

Воспользуемся формулой : =lnx∙ - =

=lnx∙ - = .

Ответ: = .

Пример 2. Найдите .

Решение. 1. Исходный интеграл имеет вид , следовательно, за и принимают многочлен (и = 2х-3), остальные множители – за dv: dv = е^3хdx.

2. Находим dи = и'dx: dи = (2х-3)'dx = 2dx. =

3. По формуле имеем: =(2х-3)∙ - =

= . Ответ: = .

х

0

3

у

-3

0

Определение 1. Уравнения, содержащие не только сами функции, но и их производные, называют дифференциальными уравнениями.

Пример 1. а) - уравнение первого порядка

б) - уравнение второго порядка

Определение 2. Высшая производная функции, входящая в дифференциальное уравнение показывает порядок дифференциального уравнения

Решением дифференциальных уравнений являются функции.

Определение 3. Функция g(x) является решением диф.уравнения, если после её подстановки уравнение обращается в тождество.

Пример 2. Проверьте, являются ли решением уравнения (1) указанные функции: а) б) в)

Решение:1) Проверим функцию , для этого найдём её производную

. Подставим в уравнение (1), получим:

Значит, функция является решением уравнения

2) Проверим функцию , для этого найдём её производную

. Подставим в уравнение (1), получим:

Значит, функция не является решением уравнения

3) Проверим функцию , для этого найдём её производную

. Подставим в уравнение (1), получим:

Значит, функция является решением уравнения

Таким образом, функция вида ( С – const) является общим решением уравнения , а функции и - частные решения уравнения.

Пример 3. Найдите частное решение уравнения: ,

если у (1) = 5.

Решение:

- общее решение уравнения.

Подставим у (1) = 5, получим:

,

- частное решение уравнения.

Ответ:

• Для уравнения первого порядка вида общим решением является функция: .

Пример 4.Найдите общее решение уравнения .

Решение: - общее решение, - частное решение.

• Уравнения первого порядка вида решаются по алгоритму: .

Пример 5.Найдите общее решение уравнения

Решение:

Ответ: