Раздел 1. « комплексные числа»

- алгебраическая форма записи комплексного числа,

где а –действительная часть комплексного числа, b – мнимая часть комплексного числа, i – мнимая единица, .

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

, - данные комплексные числа

1 .Сложение: Чтобы найти сумму двух комплексных чисел , надо по отдельности сложить действительные и мнимые части , т.е.

Пример 1: , ,

2 . Вычитание: Чтобы найти разность двух комплексных чисел , надо по отдельности вычесть действительные и мнимые части , т.е.

Пример 2: , ,

3.Умножение: Произведение комплексных чисел находится по распределительному закону умножения и определению мнимой единицы, т.е.раскрыть скобки, привести подобные, учитывая, что

Пример 3: , ,

4. Деление: Числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряжённое знаменателю

Для комплексного числа , сопряженным является число .

Для комплексного числа , сопряженным является число .

Пример 4: ,

Каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка М(а;b) или как вектор ОМ. Ось Х является действительной осью, Ось Y является мнимой осью. Пример 1:

М одулем ( r) комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу

Пример 2: , ,

Аргументом ( ) комплексного числа называется величина угла в радианах между положительным направлением действительной оси и вектором комплексного числа. Аргумент обозначается как ϕ = arg(z) и принадлежит полуинтервалу

[0, 2 ).

, если поворот против часовой стрелки, , если поворот по часовой стрелки. Аргумент комплексного числа можно найти через вспомогательный угол , . (Приложение 1)

Пример 3: Найдём аргумент комплексного числа .

-координаты точки на плоскости данного числа, IV четверти.

, так как число находится в IV четверти, то

. Ответ:

- тригонометрическая форма записи комплексного числа,

где r – модуль комплексного числа, - аргумент комплексного числа

Пример 4: Найти тригонометрическую форму записи комплексного числа

.

1. Найдём модуль: .

2. Найдём аргумент: (-1;1) – координаты точки данного числа, II четверти. . Так как число находится во II четверти, то

3. - тригонометрическая форма комплексного числа