Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной, называемой центром

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке М(а; b) имеет вид

(4.2)

Если центр окружности лежит в начале координат, т.е а = 0, b = 0, то уравнение окружности имеет вид:

(4.3)

Уравнение

А (4.4)

путем дополнения до полных квадратов можно привести к виду

(4.5)

При с > 0 уравнение (4.5) определяет окружность радиуса R = ; при с = 0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки N(a; b); при с < 0 уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности

.

Решение. В данном уравнении выделим полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа. Получаем

,

.

Сравнивая это уравнение с уравнением (4.2), находим а = 3, b = −5, т.е центр окружности находится в точке М(3; −5), а радиус окружности R = 7.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная (2а), большая, чем расстояние между фокусами (2а > 2с).

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси (0 ≤ ε < 1). Если величина эксцентриситета приближается к единице, то эллипс сильно вытянут; если же величина эксцентриситета ближе к нулю, то эллипс имеет более округлую форму. Если эксцентриситет равен нулю, то эллипс вырождается в окружность.

	a < b
Каноническое уравнение
Положение фокусов Координаты фокусов Соотношение между a и b Большая ось Малая ось Координаты вершин Фокусное расстояние Соотношение между а, b и c Эксцентриситет	F а>b	F a<b

Пример. Найти полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса

4 .

Решение. Разделим на 16 обе части уравнения, получим

, или .

Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением эллипса, находим:

(а > b), следовательно, полуоси эллипса: а = 2 и b = .

Вершины эллипса: .

, с = . Следовательно, координаты фокусов: .

Эксцентриситет эллипса вычислим по формуле: .

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная (2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2а < 2с).

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси (ε > 1).

Каноническое уравнение
Положение фокусов Координаты фокусов Действительная ось Мнимая ось Координаты вершин Фокусное расстояние Соотношение между а, b и c Эксцентриситет Уравнения асимптот и	F y=	F y=

Пример. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы

9 .

Решение. Разделим на 144 обе части уравнения, получим .

Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением гиперболы, находим, что

, , следовательно, действительная полуось а = 4 и мнимая полуось b = 3.

Далее, = 25, откуда с = 5. Следовательно, координаты фокусов: .

Эксцентриситет гиперболы: .

Уравнения асимптот: y = .