Уравнение линии в прямоугольных декартовых координатах

Уравнением линии на плоскости называется уравнение относительно переменных х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки данной линии и только они.

В общем виде уравнение линии на плоскости в прямоугольных декартовых координатах записывается так:

F (х, у) = 0 (2.1)

Чтобы составить уравнение линии как некоторого геометрического места точек, необходимо:

1. взять произвольную точку линии с текущими координатами х, у;

2. записать общее свойство точек данного геометрического места в виде равенства;

3. выразить входящие в это равенство величины с помощью координат.

Точки пересечения двух линий F (х, у) = 0 и F (х, у) = 0 находят из системы уравнений:

(2.2)

Пример 1. Определить, лежат ли точки А(2; 5) и В(1; 2,2) на линии, заданной уравнением 3х−5у + 8 = 0.

Решение. Подставив в уравнение координаты точки А, получим 3·2 −5·5 + 8 ≠ 0. Следовательно, точка А не принадлежит заданной линии.

Подставим координаты точки В: 3·1 − 5·2,2 + 8 = 0; 0 = 0. Следовательно, точка В лежит на заданной линии.

Пример 2. Найти точку пересечения двух линий х – 3у + 11 = 0, 5х + 2у – 13 = 0.

Решение. Составим систему уравнений:

Решая эту систему, получим: Следовательно, точка М(1; 4) - точка пересечения этих линий.

Прямая линия на плоскости

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла, образованного ею с положительным направлением оси Ох прямоугольной декартовой системы координат (положительные углы отсчитываются в направлении «против часовой стрелки» от оси Ох до прямой.)

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

y = kx + b, (3.1)

где k – угловой коэффициент; b – отрезок, отсекаемый ею на оси Оу.

Зная координаты двух точек, угловой коэффициент можно вычислить по формуле:

k = (3.2)

где х , у - координаты первой точки, х , у - координаты второй точки.

2. Общее уравнение прямой имеет вид:

Ах + Ву + С = 0, (3.3)

где А , В, С – числа (А и В одновременно не равны нулю).

Частные случаи этого уравнения:

1. Ах + Ву = 0 – прямая, проходящая через начало координат;

2. Ах + С = 0 – прямая, параллельная оси Оу;

3. Ах = 0 – ось Оу;

4. Ву + С = 0 – прямая, параллельная оси Ох;

5. Ву = 0 – ось Ох.

3. Уравнение прямой в отрезках:

, (3.4)

где a и b – длины отрезков, отсекаемых на осях координат, взятые с соответствующими знаками (a – на оси Ох, b – на оси Оу).

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

у −у , (3.5)

где k = tg α

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки М и М :

(3.6)

1. Угол между двумя прямыми:

; (А)

, (В)

отсчитанный против часовой стрелки от прямой (А) до прямой (В), определяется формулой

tgφ = . (3.7)

Условие параллельности прямых (А) и (В):

; (3.8)

Условие перпендикулярности прямых (А) и (В):

. (3.9)

6.2. Угол между двумя прямыми:

; (С)

(D)

вычисляется по формуле

tgφ = . (3.10)

Условие параллельности прямых (С) и (D):

. (3.11)

Условие перпендикулярности прямых (С) и (D):

. (3.12)

Условие совпадения прямых (С) и (D):

. (3.13)

Условие пересечения прямых (С) и (D):

. (3.14)

Для нахождения общих точек прямых (С) и (D) необходимо решить систему уравнений:

(3.15)

7. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Расстояние от точки М до прямой Ах+ Ву +С = 0 определяется формулой:

d = (3.16)

ТЕМА ЛЕКЦИИ №2: Линии второго порядка

Линия называется линией (кривой) второго порядка, если она определяется уравнением второй степени относительно текущих координат х и у, т.е. уравнением вида

А (4.1)