Полярная система координат.
Пусть на плоскости даны некоторая точка О (назовем ее полюсом) и проходящая через нее ось ОР (назовем ее полярной осью) (рис.1.3). Положение любой точки М плоскости определяется расстоянием этой точки от полюса – радиус-вектором r и полярным углом φ между полярной осью и радиус-вектором r.
Две координаты (r, φ) определяют единственную
т
очку
плоскости и называются ее полярными
r
М
координатами
( r
0,
а 0
φ
2π).
П
олюс
О является точкой, радиус-вектор
которой φ
р
авен
нулю, а полярный угол φ не определен.
О
Р
рис. 1.3
Таким образом, системы координат позволяют установить
взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости и парами чисел и наоборот.
Можно установить связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки.
П
усть
даны декартова система координат и
полярная с полюсом в начале координат
и полярной осью, совпадающей с осью
абсцисс (рис. 1.4). У
Обозначим через х и у декартовы координаты
т
очки
М , через r и
φ ее полярные координаты. Из
М
треугольника ОМР видно, что зависимость между по- r
лярными координатами (r; φ) точки М и ее прямоуголь- у
н
ыми
координатами (х; у) выражается
формулами: О φ
х Р Х
рис.1.4
х = r∙cos φ , y = r∙sin φ (1.1)
и обратно:
r
=
,
tg φ =
(1.2)
Пример. Даны декартовы координаты точки М(1; -1). Найти ее полярные координаты.
Решение. Применяя формулы (1.2), получим:
r
=
=
,
tg φ =
.
Так как х = 1 >
0 и у = -1 < 0, то точка М находится
в IY четверти, а значит φ
=
.
Итак, полярные координаты точки: М( ; ).
Простейшие задачи на плоскости
1. Расстояние d
между двумя точками А
и В
на плоскости вычисляется по формуле
d
=
(1.3)
2. Координаты точки М(х; у), делящей отрезок АВ, где А , В в данном отношении АМ: МВ = λ, определяются по формулам:
х =
,
у =
(1.4)
3. Координаты середины отрезка АВ (λ = 1) вычисляются по формулам:
х =
,
у =
(1.5)
4. Площадь
треугольника с вершинами А
,
В
,
С
равна
S
= ±
, (1.6)
где знак минус следует брать, когда выражение в квадратных скобках отрицательно, знак плюс – когда оно положительно.