14

1.2. Арифметичні основи комп'ютерної схемотехніки

1.2.1. Принципи побудови системи числення

Числова інформація в комп'ютерах характеризується:

• системою числення (двійкова, десяткова та ін.);

• видом числа (числа дійсні, комплексні, масиви);

• типом числа (змішане, ціле, дробове);

• формою представлення числа (місце коми) — з природною (змінною), фік­сованою, плаваючою комами;

• розрядною сіткою і форматом числа;

• діапазоном і точністю подання чисел;

• способом кодування від'ємних чисел — прямим, оберненим та доповняль­ним кодами;

• алгоритмами виконання арифметичних операцій.

Системою числення називається сукупність цифр і правил для записування чисел. Запис числа у деякій системі числення називається його кодом. Усі системи числення поділяють на позиційні й непозиційні. Для запису чисел у позиційній систе­мі числення використовують певну кількість графічних знаків (цифр і букв), які відріз­няються один від одного. Число таких знаків q називається основою позиційної системи числення. В комп'ютерах використовують позиційні системи з різною осно­вою.

Система числення з основою два (цифри 0 і 1) називається двійковою, система числення з основою три (цифри 0, 1,2) — трійковою і т.д. У системах числення з ос­новою меншою десяти використовують десяткові цифри, а для основи більшої деся­ти добавляють букви латинського алфавіту — Д В, С, D, E, F. Далі в позначеннях при необхідності пишуть десятковий індекс, що дорівнює основі системи числення, яка застосована (табл. 1.1).

У позиційних системах числення значення кожної цифри визначається її зобра­женням і позицією в числі. Окремі позиції в записі числа називають розрядами, а номер позиції — номером розряду. Число розрядів у записі числа називається його розрядністю і збігається з довжиною числа.

Таблиця 1.1

Основа q	Система числення	Знаки
2	Двійкова	0,1
3	Трійкова	0,1,2
5	П'ятіркова	0,1,2,3,4
8	Вісімкова	0, 1,2,3,4,5,6,7
10	Десяткова	0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9
16	Шістнадцяткова	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F

У непозиційних системах числення значення кожної цифри не залежить від її позиції. Найвідомішою непозиційною системою є римська, в якій використовуються сім знаків — I, V, X, L, С, D, М, що відповідають таким значенням:

І V X L С D М

1 5 10 50 100 500 1000

Наприклад: III — 3; LIX — 59; DLV — 555.

Недоліком непозиційної системи є відсутність нуля та формальних правил за­пису чисел і відповідно арифметичних дій з ними (хоч за традицією римськими чис­лами часто користуються при нумерації розділів у книгах, віків у історії та ін.). Систе­ма числення повинна забезпечувати:

• можливість представлення будь-якого числа в заданому діапазоні;

• однозначність, стислість запису числа і простоту виконання арифметичних операцій;

• досягнення високої швидкодії машини в процесі оброблення інформації.

Число в позиційній системі можна представити поліномом:

(1.1)

де q — основа системи числення; q^l — вага позиції; a_t є {0, 1, ..., (q - 1)} —цифри в позиціях числа; 0, 1, ..., к— номери розрядів цілої частини числа; -1, -2, ..., -т — номери розрядів дробової частини числа.

Позиційні системи з однаковою основою в кожному розряді називаються одно­рідними. Оскільки на значення q немає ніяких обмежень, то теоретично можлива нескінченна множина позиційних систем числення.

На практиці застосовують скорочений запис полінома (1.1) у вигляді послідов­ності цифр із знаком залежно від типу числа:

• для змішаного числа

А_q = ± а_к а_к-1 ... а_i а₀ , а_-1... a_-m; (1.1, а)

• для цілого числа

А_q = ± а_к а_к-1 ... а₁а₀; (1.1,б)

• для правильного дробу

А_q = ± 0, а_-1 a_-2... а_-т. (1.1, в)

Приклад 1.1

Ілюстрація запису чисел у вигляді послідовності цифр (1.1,а,б,в) і відповідного полінома (1.1):

• двійкова система: q = 2; а, є {0, 1}:

А₂ = 111,01 = 1∙2² + 1∙2¹ + 1∙2⁰ + 0∙2^-1+ 1∙2^-2 = 7,25₁₀;

• вісімкова система: q = 8;а_i є {0, 1, 2, ..., 7):

A₈ = 45,21 = 4∙8¹ + 5∙8⁰ + 2∙8^-1 + 1∙8^-2 = 37,26510;

• десяткова система: q = 10; а, є {0, 1, 2, ..., 9}:

A₁₀ = 135,64= 1∙10² + 3∙10¹ + 5∙10⁰ + 6∙10^-1+4∙10^-2;

• шістнадцяткова система: q = 16; a_i = {0, 1, ..., F}:

A₁₆ = DE,lB = D∙16^l +E∙16⁰ + 1∙16^-1 +5∙16^-2=

= 13∙16¹+ 14∙16⁰+ 1∙16^-1 + 11∙16^-2 = 222,10510.

Розглянуті записи чисел показують один із способів переведення недесяткових чисел у десяткові. При однаковій розрядності в системах числення з більшою осно­вою можна записати більше різних чисел.

Достоїнством двійкової системи є: простота виконання арифметичних операцій; наявність надійних мікроелектронних схем з двома стійкими станами (тригерів), при­значених для зберігання значень двійкового розряду — цифр 0 або 1. Двійкові циф­ри називають також бітами. У двійково-десятковій системі числення кожна десятко­ва цифра записується чотирма двійковими розрядами (тетрадами).

Приклад 1.2

Запис десяткового числа в двійково-десятковій системі: