2.8. Оценка величины случайных погрешностей при многократных измерениях

Практика измерений показывает, что если количество измерений довольно большое (n > 15…50), то, как бы ни был велик ряд результатов измерений, случайные погрешности колеблются в определенных, зачастую довольно узких пределах, при этом частота появления этих погрешностей уменьшается с ростом их величины. Иначе говоря, большие погрешности наблюдаются реже, чем малые. Отсюда вытекает первое свойство случайных погрешностей, а именно: они не могут превосходить по абсолютному значению определенного предела, зависящего от условий проведения измерений (средства измерений, внешние условия, квалификация экспериментатора и т.д.). В ряду результатов измерений случайные погрешности встречаются примерно в равной степени, как со знаком плюс, так и со знаком минус. Отсюда следует второе свойство случайных погрешностей измерений: положительные и отрицательные погрешности встречаются в ряду измерений одинаково часто. Когда погрешности измерений обладают вышеперечисленными свойствами, то говорят о нормальном распределении их величин, при этом совокупность всех значений погрешностей при выполнении большого количества измерений (в идеале n→∞, однако на практике это имеет место уже при n > 15…50) называется генеральной совокупностью.

При нормальном распределении случайных величин они хорошо поддаются анализу с помощью основных положений теории вероятности и математической статистики. При этом вероятностный характер погрешностей результатов измерений предопределяет использование при их оценке двух показателей: доверительной погрешности 2∆х (где ∆х – полуширина доверительной погрешности) и доверительной вероятности Р, т.е. вероятности того, что х_изм будет отличаться от x_ист на величину не большую, чем ∆х (где х_изм и x_ист -соответственно измеренное и истинное значение величины). При обработке данных измерений обычно принимают Р=0,95 или 95%

Практика измерений физических величин показывает, что при малом числе измерений (n < 15) распределение их случайных погрешностей начинает несколько отличаться от нормального и становится зависимым от числа измерений. Такое распределение получило название распределение Стьюдента. При n > 15…50 распределение Стьюдента переходит в нормальное. Таким образом, распределение Стьюдента можно рассматривать как своего рода нормальное распределение при малых выборках. Согласно ГОСТ 8.2070-76 при числе измерений n<15 принадлежность их к нормальному распределению уже не проверяется, а принимается априори. При n>15 это необходимо делать в обязательном порядке.

В связи с тем, что распределение Стьюдента относится к относительно небольшой выборке из генеральной совокупности, а истинное значение x_ист измеряемой величины Х неизвестно, оценка результатов измерений осуществляется с помощью:

- среднего арифметического значения x_ср представляющего собой среднее арифметическое всех результатов измерений

(2.58)

где: x_i – результат i-го единичного измерения;

- средней квадратической погрешности результатов единичных измерений в ряду измерений S_x, являющейся оценкой рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около их среднего значения

(2.59)

- коэффициента вариации W_в, характеризующего изменчивость изучаемого свойства материала:

(2.60)

- средней квадратической погрешности результата измерения среднего арифметического S(x_ср), являющейся оценкой случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений

(2.61)

Выражение (2.61) отражает фундаментальный закон возрастания точности измерений при росте их числа. Из него следует, что для повышения точности измерений в два раза, необходимо вместо одного измерения провести четыре. Разумеется, это относится к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайными погрешностями. В этих условиях, выбрав n достаточно большим, можно существенно повысить точность конечного результата.

Полуширина доверительной погрешности ∆х в распределении Стьюдента определяется, как

, (2.62)

где t_p(n) – коэффициент распределения (или критерий) Стьюдента, являющийся функцией доверительной вероятности Р и числа измерений n. Его значения приведены в табл. 2.13.

Таблица 2.13

Значения коэффициента Стьюдента t_p(n) при P=0,95

n	tp(n)	n	tp(n)	n	tp(n)
2	12,706	7	2,447	12	2,201
3	4,303	8	2,365	13	2,179
4	3,182	9	2,306	14	2,160
5	2,776	10	2,262	15	2,145
6	2,571	11	2,228	16	2,131

Определенная таким образом величина ∆х является абсолютной погрешностью определения действительного значения х_д измеряемой величины Х при проведении серии измерений.

Как уже указывалось выше, при статистической обработке полученных результатов измерений необходимо убедиться в том, что в рассматриваемом ряду измерений отсутствуют результаты, содержащие промахи. Эта задача решается статистическими методами, основанными на том, что распределение к которому относится рассматриваемая группа измерений, в первом приближении можно считать нормальным. Проверка выборки на наличие промахов проводится при числе измерений n > 3, так как при n=2 невозможно определить какая из двух величин измерений содержит промах.

Для проверки возможности исключения из ряда результатов измерений результата измерения, подозреваемого на аномальность x_a, т.е. на наличие промаха необходимо вычислить критерий проверки на аномальность K_a:

, (2.63)

где х_ср вычисляют с учетом всех измерений n.

Затем необходимо сравнить полученную величину К_а с критическим значением этого критерия К_а^кр при доверительной вероятности Р=0,95 и соответствующем числе измерений n. Значения К_а^кр для Р=0,95 и n=3…17 приведены в табл. 2.14.

Таблица 2.14

Критические значения критерия проверки на аномальность К_а^кр при Р=0,95

n	Какр	n	Какр	n	Какр
3	1,412	8	2,172	13	2,426
4	1,689	9	2,237	14	2,461
5	1,869	10	2,294	15	2,493
6	1,996	11	2,343	16	2,523
7	2,093	12	2,387	17	2,551

Если К_а > К_а^кр, то x_a, содержит промах и этот результат необходимо исключить из выборки. Если же К_а < К_а^кр, то x_a не содержит промаха и его нельзя исключать из выборки. После отбрасывания х_а величины х_ср, S_x вычисляются снова, но ряд измерений должен быть уже уменьшен на одно измерение х_а. В качестве х_а рассматривается тот результат измерения, который дальше всего отстоит от х_ср, т.е. |х_а–х_ср| должна быть максимальной в ряду измерений.

Если ряд измерений содержит несколько подозреваемых результатов, то проверку осуществляют в несколько стадий, начиная с х_а, для которого |х_а–х_ср| будет наибольшей. Если этот х_а отбрасывается, то из получившегося нового ряда проверяется другой х_а, для которого в новом ряду измерений |х_а–х_ср| будет уже наибольшей. Рекомендуется отбрасывать не более 15% измерений. Если приходится отбрасывать больше, то, следовательно, гипотеза о нормальности распределения измерений в данном эксперименте неправомерна.

При известных величинах х_ср, ∆х, и Р окончательный результат измерения соответствующей физической величины записывается следующим образом:

х_д = х_ср ± ∆х, единица измерения, при Р=0,95 (2.64)

Например, m = 5 ± 0,15 кг при Р=0.95, где m – масса образца. Такая запись читается следующим образом. С вероятностью Р=0,95 (или Р=0,95%) действительное значение измеренной физической величины Х будет находиться в интервале от х_ср-∆х до х_ср+∆х.

Необходимое количество измерений n_н для достижения требуемой точности измерений А_х при доверительной вероятности Р=0,95 можно определить заранее только тогда, когда известна дисперсия S_x², определяемая как квадрат средней квадратической погрешности результатов единичных измерений. В этом случае

(2.65)

Для того, чтобы свести к минимуму число измерений, рекомендуется пользоваться следующим приемом. Сначала проводится первая серия измерений количеством n₁ ≤ 5..6. По результатам этой серии измерений определяют n_н. Если будет установлено, что n_н > n_p то проводится вторая серия дополнительных измерений, число которых n₂ = n_н – n₁. После второй серии измерений опять определяется величина n_н. Путем последовательных приближений добиваются, чтобы разница между величинами n_н в текущей и предыдущих сериях была порядка единицы.

Ориентировочно n_н можно определить, используя величину вычисленного в рассматриваемой серии измерений коэффициента вариации W_в. Взаимосвязь между ними приведена в табл. 2.15.

Таблица 2.15

Взаимосвязь между величинами W_в и n_н

Коэффициент вариации Wв, %	30	25	20	15
Необходимое количество измерений nн	9	6	4	3

На основе измерений, полученных в предыдущем лабораторном практикуме необходимо оценить величины случайных погрешностей. За искомую величину принимается высота одного и того же дерева, измеренная различными студентами при помощи одного и того же прибора.

Задания для выполнения практической работы 2.8

1) Вычислить среднее арифметическое значение х_ср.

2) Вычислить среднюю квадратическую погрешность результатов единичных измерений S_x.

3) Если в ряду измерений х_i имеются значения х_а, существенно отличающиеся от х_ср, то провести проверку на аномальность.

4) Определить коэффициент вариации Wв.

5) Определить среднюю квадратическую погрешность результата измерения среднего арифметического S(x_ср).

6) Вычислить полуширину доверительной погрешности ∆х и представить окончательный результат.

7) Уточнить, достаточно ли было число проведенных измерений искомой физической величины.