15.2. Числовые характеристики случайной величины

Функция распределения содержит достаточно полную информацию о случайной величине. Однако судить об основных особенностях случайной величины только по виду функции распределения довольно трудно. В связи с этим вводят более простые характеристики, определяемые некоторым числом.

Условно числовые характеристики разделяют на два класса: характеристики положения - математическое ожидание, мода, медиана, размах варьирования и начальные моменты и характеристики рассеивания - дисперсия, среднее квадратичное отклонение,

Математическое ожидание

Математическое ожидание характеризует среднее или ожидаемое значение случайной величины. Обозначают его или . Оно имеет размерность случайной величины и определяется по формулам:

для дискретной СВ

для непрерывной СВ (3)

Мода

Модой случайной величины _(Х) называется ее наиболее вероятное значение.

Мода дискретной СВ находится непосредственно из таблицы распределении. Если значений с максимальной вероятностью несколько, то такое распределение называют полимодальным.

Мода непрерывной СВ находится в точках максимума плотности распределения вероятностей, там где и

Медиана

Медианой СВ называется такое её значение , для которого равновероятно , окажется ли случайная величина меньше или больше ,

₍₄₎

Геометрически медиана означает прямую , которая делит площадь, ограниченную кривой распределения вероятностей, пополам.

Медиана ряда дискретной СВ с нечетным числом членов равна значению случайной величины, стоящей посередине.

Для четного числа членов медиана равна полу-сумме двух серединных рядом стоящих случайных величин.

Размах варьирования

Размахом варьирования называется разность между наибольшим и наименьшим значением СВ. Применяется в основном для дискретных случайных величин.

(5.)

Дисперсия

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

,

Для дискретной СВ она вычисляется по формуле

₍₆₎

Для непрерывной СВ -

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что неудобно для рассмотрения. Для того, чтобы представить разброс значений СВ вокруг ее среднего значения М(Х) в тех же единицах, что и сама случайная величина, вводится дополнительная числовая характеристика – среднее квадратичное отклонение.

6. Средним квадратичным отклонением (СКО) называется квадратный корень из дисперсии:

. (7)

Пример 3. Найти характеристики положения и рассеивания дискретной случайной величины, заданной таблично.

х	1	3	5	11
pi	0, 2	0,1	0,3	0,4

Решение. Используем определения и формулы, данные выше.

1) Математическое ожидание равно

2) Моду найдем по таблице , т.к.

3) Медиана определится как полу-сумма двух его серединных значений, т.к. таблица имеет четное (4) число наблюдений:

4) Размах варьирования составит

5) Для нахождения дисперсии используем формулу 6:

6) Среднеквадратичное отклонение равно

Рассмотрим числовые характеристики наиболее часто встречающихся распределений дискретной и непрерывной случайной величин – биномиального и нормального и равномерного.