2 Метод разложения подынтегральной функции
Примеры 2.а)
=
.
Здесь частное разложили на сумму путем деления числителя на знаменатель.
б)
.
Решение. Воспользуемся тождеством cos2x + sin2x = 1, а затем поделим числитель на знаменатель В результате получим:
=
3.Метод замены переменной
Метод замены в неопределенном интеграле
базируется на двух подстановках:
Подстановка1
говорит
о том, что если функция f(x) является
табличной и ее первообразная равна
F(x), то первообразной для функции f (ax+b)
является функция
.
, то есть
(3)
Примеры 3. Используя подстановку 1, вычислить неопределенные интегралы.
.
Использована формула 2 таблицы интегралов
.
.
Использовали
ф.3 из таблицы интегралов.
6.
Подстановка
2. Если
подынтегральная функция является
произведением
двух множителей, один из которых зависит
от некоторой функции
,
а другой с точностью до числового
множителя является е1 производной
,
то нужно сделать подстановку
и тогда
интеграл приведется к табличному виду.
Подстановку обычно показывают в решении
в скобках.
(4)
Примеры 4.
а)
г)
3. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям базируется на формуле
(5)
При этом за «и» принимается функция, которая при дифференцировании упрощается, а за «dv» - та функция, интеграл которой легко найти. Поэтому
I.
Интегралы вида
,
где
-
многочлен степени «п»
относительно х,
умноженный на один из трех возможных
сомножителей, указанных в квадратных
скобках, вычисляются по частям, если
положить
, а
(или другой сомножитель).
Тогда
и
.
Последний интеграл, (как и
),
являются табличными.
II
.Интегралы вида
также берутся по частям, но за и
принимается функция, стоящая множителем
при многочлене
, а за
.
Внимательно посмотрите на формулу (5) и прочтите рекомендацию. Прокомментируйте вслух решение первого и остальных примеров, обращая внимание на форму записи.
Примеры 5. Вычислить интегралы:
3.
Решите самостоятельно и сверьтесь с
ответом:
Этот интеграл вычисляем с помощью подстановки 2. (см. выше).
6
.
Теперь используем формулу 5 и рекомендацию 2
7.3. Вопросы для самоконтроля
1. Установите соответствие между интегралом и его значением:
1.
2.
3.
4.
А)
+С
В)
+С
С)
+С
D)
+С
2.
Вычисление интеграла
приводит к ответу…
1)
2)
3)
4)
Вычисление интеграла
приводит
к ответу…
1)
2)
3)
4)
4.
В
неопределенном интеграле
введена новая переменная
.
Тогда интеграл примет вид …
1)
2)
3)
4)
5.Вычисление
интеграла
приводит
к ответу…
1)
2)
3)
4)
Ответы.
1. 1-В, 2-С, 3-А, 4-Д. 2) 2 вариант, 3) 2 вариант, 4) 2 вариант, 5) 1 вариант