Действия над матрицами
Над матрицами определены четыре операции: умножение на число, алгебраическая сумма, произведение и транспонирование.
1.Умножение матрицы на число.
При умножении матрицы на число k, каждый ее элемент умножается на это число.
.
(1)
Если к = - 1, то получаем матрицу - А, которая называется противоположной матрице А
Так,
матрица
противоположна матрице
-А=
,
а матрица 6А равна
2. Алгебраическая сумма матриц.
При
сложении матриц
и
одинаковой
размерности получают
матрицу
той же размерности с элементами
.
Так же находится разность матриц:
Операции
умножения матрица на число и сложение
можно объединять.
Пример
1.
Найти значение матричного многочлена
,
если
Решение. Умножим каждый элемент матрицы А на 2, а матрицы В на 3. После этого произведем операцию вычитания матриц, в результате получим:
Ответ:
3. Произведение матриц
Произведение матриц осуществляется по схеме «строка умножается на столбец». Произведение строки а1 на столбец в1одинаковой длины находят по правилу:
(3)
Произведением матриц А·В называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме парных произведений элементов i-той строки матрицы А на элементы j-того столбца матрицы В, найденных по формуле (3)
Например, для того, чтобы получить элемент С23 следует умножить 2-ую строку матрицы А на 3-тий столбец матрицы В.
Результирующая матрица С имеет столько строк, сколько их в матрице А и столько столбцов, сколько их в матрице В.
Понятно,
что в общем случае
,
но есть и исключения.
Пример 2. Найти произведения следующих матриц.
4.Транспонирование матриц
При транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами, т.е. 1-я строка становится 1-м столбцом, 2-я строка – 2-м столбцом и т.д. Транспонированную матрицу обозначают АТ. Например
Более подробно этот материал можно изучить в указанных учебниках. Далее приведены вопросы для самоконтроля. Оцените себя по 10-бальной шкале.
1.2.Задания для самоконтроля
1.
Размерность
матрицы
равна…
1)
6х5
2)
3)
4) 65
2.
Элемент
матрицы
равен…
1) 1 2) 0 3) 4 4) - 1
3.
Дана
матрица
.
Тогда сумма элементов, расположенных
на
главной диагонали
этой матрицы, равна … .
4.
Матрица
Тогда матрица
равна…
5.
Даны
матрицы
размерности
и
размерности
.
Произведение
существует
и имеет размерность…
6.
Если
,
,
то сумма
равна…
7.Если
,
,
тогда матрица
имеет вид …
8.
Произведение
матриц
,
где
-
единичная матрица. Тогда матрица
имеет вид…
9.
Произведение
матриц
равно…
10.
Можно ли найти произведение матриц
Чему будет равна размерность
результирующей матрицы?
Ответы
1.
2.
43.
34.
5
6.
7.
8.
9.
10.
Да.
