4.5. Обобщенно-гармонические ряды

В примере 4.4 рассматривался гармонический ряд который является положительным и расходящимся.

Определение 4.3. Обобщенно-гармоническим рядом называется ряд , который расходится при и сходится при .

Например, расходятся ряды , , , а ряды , , – сходятся.

При этом совершенно не важно, чему равна сумма, во многих практических заданиях часто важен факт: сходится ряд или расходится.

4.6. Свойства сходящихся рядов

Теорема 4.2. Если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка, объединить в конечные группы и составить ряд из сумм этих групп, то полученный будет сходиться и его сумму равняется сумме первоначального ряда.

Эту теорему можно коротко формулировать так: члены сходящегося ряда можно заключать в скобки. Еще иначе можно сказать, что сходящиеся ряды обладают "сочетательным свойством".

Интересно отметить, что из сходимости ряда, члены которого заключены в скобки не вытекает сходимость исходного ряда. Это видно хотя бы из следующего примера: хотя ряд [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + ...сходится, но ряд 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + ...расходится.

Таким образом, "раскрывать скобки" можно не всегда.

Теорема 4.3. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то вновь полученный ряд будет сходиться, и его сумма будет равна сумме первоначального ряда, умноженной на то же число.

Теорема 4.4. Сходящиеся ряды можно почленно складывать.

4.7. Остаток ряда

Определение 4.4.

Если , (4.1)

есть некоторый ряд, и – какое-нибудь натуральное число, то остатком ряда (4.1) после m-го члена называется ряд

Теорема 4.5. Сам ряд и его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть и – частичные суммы ряда (4.1), а –частичная сумма остатка этого ряда. Тогда при n > m.

Пусть остаток ряда (4.1) сходится и его сумма равна . Тогда при стремлении n к бесконечности будет выполняться: . Отсюда следует, что . Получили, что ряд (4.1) сходится и его сумма . Обратно, если сходится ряд (4.1) и сумма его равна S, то из соотношения вытекает, что и . Следовательно, ряд (4.1) сходится и его сумма , что и требовалось доказать.

Теорема 4.6. Сумма остатка сходящегося ряда после m-го члена стремится к нулю при возрастании .

Это следует, из того, что если ряд (4.1) сходится, то из равенства вытекает, что – сумма его остатка после m-го члена равна разности между суммой S всего ряда и его частичной суммой . При возрастании m частичная сумма S_m будет стремиться к S, то отсюда следует , что и требовалось.

4.8. Знакоположительные ряды

Определение 4.5.

Если задан числовой ряд (4.1)

и все члены ряда (n = 1, 2, 3, ... ), то ряд (4.1) называется положительным. Если для всех , то ряд (4.1) называется строго положительным.

Частичная сумма положительного ряда (4.1) с увеличением n возрастает (может быть, не строго).

Таким образом, как всякая возрастающая числовая последовательность, последовательность частичных сумм имеет конечный или бесконечный предел, т.е. для любого положительного ряда существует предел . Отметим еще, что частичные суммы сходящегося положительного ряда не превосходят его суммы.

Этот предел может быть конечным или бесконечным в зависимости от ограниченности сверху последовательности частичных сумм .

Теорема 4.7. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Теорема 4.7 сводит вопрос о изучении сходимости положительного ряда к более простому вопросу, а именно к вопросу об ограниченности последовательности его частичных сумм.