5.10. Первый замечательный предел:

Первым замечательным пределом назвали предел равный 1 при от функции . Сама функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль.

Приведем доказательство первого замечательного предела. Функция является четной функцией (ее значения не изменяются при изменении знака ) , то достаточно рассмотреть случай, когда ) . Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол , выраженный в радианах, заключен в пределах: . Из определения тригонометрических функций и геометрических соображений имеем (рис. 5.1): AD ОC, BC OC, О A=OC=1.

Рисунок. 5.1.

Из ОAD находим . Из ОBC находим .

Из сравнения площадей треугольника ОAD, сектора OAC и треугольника

ОBC на рисунке 5.1. видно, что S_ΔOAC <S_сект.OAC <S_ΔOBC.

Площадь треугольника ОAC:

Площадь треугольника ОBC: .

Площадь сектора OAC S_сект.OAC = , т.к. . Подставляем найденные площади в последнее неравенство, получаем

Делим двойное неравенство на : . Все члены неравенства – положительные числа, поэтому можно записать неравенство для обратных величин: . (5.1)

Предел левой части неравенства: .

Предел правой части неравенства: . Тогда по теореме о промежуточной функции получаем, что существует: . Теорема доказана для .

Неравенства (5.1) верны и для , т.к. функции и являются четными. Поэтому доказательство теоремы справедливо и для . Теорема полностью доказана.

Следствия из первого замечательного предела

, , , .

5.11. Второй замечательный предел

(здесь e =2.7318… – Неперово число или число Эйлера)

Следствия из второго замечательного предела

, , , ,

, если , .

5.12. Бесконечно малые функции и их свойства

Определение 5.11. Функция называется бесконечно малой в точке , если .

Определение 5.12.Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если .

Множество (класс) функций, бесконечно малых при , принято обозначать символом .

.

Аналогично определяются классы при или . Например, .

Основные свойства бесконечно малых функций при :

1. – сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией;

2. –произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией;

3. – произведение двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией;

4. произведение бесконечно малой функции на константу является бесконечно малой функцией;

5. частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю, является бесконечно малой функцией.

Сравнение двух бесконечно малых функций

Определение 5.13. Пусть при и существует предел . Тогда

– если С=0, то функция называется бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем бесконечно малая функция ;

– если С=1, то функции и называются эквивалентными бесконечно малыми функциями и обозначаются ;

– если , то функции и называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости; это обозначают как или в силу симметричности данного отношения; очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости;

– если , то функция называется бесконечно малой функцией порядка относительно бесконечно малой функции .

Утверждение 5.1.

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем каждая из них. Верно и обратное утверждение.

Утверждение 5.2.

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Определение 5.14. Слагаемое, которое эквивалентно сумме бесконечно малых функций, называется главной частью указанной суммы.

Замена суммы бесконечно малых функций ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Теорема 5.7. Пусть при . Тогда .

Доказательство теоремы следует из соотношения .

Теорема 5.8. При вычислении пределов отношения двух бесконечно малых функций бесконечно малые функции можно заменять на эквивалентные. Значение предела при этом не изменится.

Пусть при и существует предел .

Если , то

.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при

19