5.4. Предел функции на бесконечности

Определение 5.3. Число называется пределом функции при , стремящимся к бесконечности, если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , следует, что .

Краткая запись: .

Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему определению.

Определение 5.4. Число является пределом функции при , стремящимся к бесконечности, если функция определена для всех , удовлетворяющих условию, что при некотором положительном числе , для любой сходящейся к бесконечности последовательности последовательность значений функции существует и сходится к числу .

5.5. Геометрический смысл предела функции на бесконечности

Геометрический смысл предела функции на бесконечности заключается в том, что для любого найдется такое число , что для всех , которые принадлежат объединению интервалов: , соответствующие значения функции попадают в – окрестность числа , т.е. точки графика функции при соответствующих значениях лежат в полосе шириной , ограниченной горизонтальными прямыми и .

5.4. Односторонние пределы

Определение 5.5. Число называется левосторонним пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство . Обозначается : .

Определение 5.6. Число называется правосторонним пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство . Обозначается : .

Определение 5.7. Число называется пределом функции при стремящимся к слева, если функции определена на промежутке , и какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке слева, т.е. такая, что для всех натуральных , соответствующая ей последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как: или .

Определение 5.8. Число называется пределом функции при стремящимся к справа, если функции определена на промежутке , и какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке справа, т.е. такая, что для всех натуральных , соответствующая ей последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как: или .

Если определена в интервале , то в точке может иметь смысл только число , а в точке – только число .

Отметим, что двусторонний предел существует лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть .

В этом случае

5.7. Бесконечно большие функции

Определение 5.9. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой.

Определение 5.10. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .

То, что функция является бесконечно большой в точке , соответствует тому, что . Кратко это записывают так: .