Свойства числовых последовательностей
Суммой
числовых последовательностей
и
называется
такая числовая последовательность
,
элементы которой
определяются
как сумма соответствующих элементов:
.
Разностью
числовых последовательностей
и
называется
такая числовая последовательность
,
элементы которой
определяются
как разность соответствующих элементов:
.
Произведением
числовых последовательностей
и
называется
такая числовая последовательность
,
элементы которой определяются
как произведение соответствующих
элементов:
.
Частным
от деления числовой последовательности
на
числовую последовательность
,
все элементы которой отличны от нуля,
называется такая числовая последовательность
,
элементы
которой определяются
как частное от деления соответствующих
элементов:
.
Иногда, если последовательность содержит лишь конечное число нулевых элементов, то частное можно определять с того номера, начиная с которого все элементы последовательности отличны от нуля.
Имеют место следующие арифметические свойства пределов числовых последовательностей:
ТЕОРЕМА
3.1.
Если последовательности
и
сходящиеся,
то сходятся также последовательности
,
,
и
,
причем
имеют место равенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
,
при условии, в
последнем
случае выполняется условие
.
Следствие
3.1.
Константу можно выносить за знак предела
последовательности:
,
где
—
константа.
ТЕОРЕМА 3.2. Предельный переход в неравенствах
Если
и, начиная с некоторого номера
,
все члены последовательностей
и
удовлетворяют
неравенству
,
то
Следствие 3.1.
Если
,
и при достаточно больших номерах
выполняется неравенство
,,
то
,
т.е. при предельном переходе
строгое неравенство может перейти в
нестрогое
Следствие 3.2.
Если
и начиная с некоторого номера
,
все члены последовательностей
удовлетворяют неравенству
,
то
.
ТЕОРЕМА 3.3.
Если
и, начиная с некоторого номера
,
все члены последовательностей
,
и
удовлетворяют неравенству
,
то существует предел последовательности
и
.
ТЕОРЕМА 3.4.
Если две последовательности отличаются друг от друга лишь конечным числом членов и у одной из них есть предел, то предел есть и у другой последовательности.
ТЕОРЕМА 3.5. Числовая последовательность может иметь только один предел.
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 3.3.
Последовательность
называется ограниченной
сверху, если
такое,
что для любого
.
При этом число М
называется верхней
границей последовательности
Определение 3.4.
Последовательность
называется ограниченной
снизу, если
такое, что для любого
.
Число m
называется нижней
границей последовательности.
Определение 3.5.
Последовательность
называется ограниченной,
если она ограничена и сверху и снизу,
то есть
такое, что
для любого
.
Заметим, что в данном определении
.
Определение 3.6.
Последовательность
называется неограниченной,
если
Неограниченная последовательность
может быть односторонне ограниченной,
то есть ограниченной или сверху, или
снизу. Например .
1,2,..., ,... — ограничена снизу, но не ограничена сверху;
{1/n} – ограничена, так как
;
3) {(-1)n} – ограничена
Теорема 3.6. Любая ограниченная сверху последовательность имеет наименьшую верхнюю границу U.
Теорема 3.7. Любая ограниченная снизу последовательность имеет наибольшую нижнюю границу L.
На рисунке 3.1 наименьшая верхняя U и наибольшая нижняя границы L последовательности изображены горизонтальными линиями, расположенными вверху и внизу соответственно.
Рис.
3. 2..
Свойства ограниченных последовательностей
Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
Ограниченная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.
Теорема 3.8. ( Больцано—Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Теорема 3.9. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Следствие 3.3. Все неограниченные последовательности расходящиеся.