Тема 5: Средние величины и показатели вариации

5.1 Средние величины

Средней величиной называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.

Объективность и типичность статистической средней обеспечивается лишь при определенных условиях. Первое условие – средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности. Для получения однородной совокупности необходима группировка данных, поэтому расчет средней должен сочетаться с методом группировок. Второе условие – для исчисления средних должны быть использованы массовые данные. В средней величине, исчисленной на основе данных о большом числе единиц (массовых данных), колебания в величине признака, вызванные случайными причинами, погашаются, и проявляется общее свойство (типичный размер признака) для всей совокупности.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

В экономических исследованиях и плановых расчетах применяются две категории средних:

• степенные средние;

• структурные средние.

К категории степенных средних относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая. Величины, для которых исчисляется средняя, обозначаются буквой х_i. Средняя обозначается через . Такой способ обозначения указывает на происхождение средней из конкретных величин. Черта вверху символизирует процесс осреднения индивидуальных значений. Частота – повторяемость индивидуальных значений признака – обозначается буквой f.

Формулы средних величин могут быть получены на основе степенной средней, для которой определяющей является управление:

, откуда . (5.1)

В дальнейшем при написании формул средних подстрочные значки i, n использоваться не будут, но подразумевается, что суммируются все произведения .

В зависимости от степени k получаются различные виды средних величин, их формулы представлены в таблице 5.1.

Как видно из таблицы 5.1, взвешенные средние учитывают, что отдельные варианты значений признака имеют различную численность, поэтому каждый вариант «взвешивают» по своей частоте, т.е. умножают на нее. Частоты f при этом называются статистическими весами или просто весами средней. Однако необходимо учитывать, что статистический вес – понятие более широкое, чем частота. В качестве веса могут применяться какие-либо другие величины (в таблице 5.1 они обозначены буквой w). Например, при расчете средней продолжительности рабочего дня по предприятию единственно правильным будет взвешивание по количеству отработанных человеко-дней. Частоты отдельных вариантов могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными – частостями.

Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном случае, исходя из задачи исследования, материального содержания изучаемого явления и наличия исходной информации. Он состоит из нескольких этапов:

1. устанавливается определяющий показатель, т.е. обобщающий показатель совокупности, от которого зависит величина средней;

2. определяется математическое выражение для определяющего показателя;

3. производится замена индивидуальных значений средними величинами;

4. решение уравнения средней.

Основополагающее правило при этом заключается в том, что величины, представляющие собой числитель и знаменатель средней, должны иметь определенный логический смысл.

Таблица 5.1 - Формулы различных видов степенных средних величин

Значение k	Наименование средней	Формула средней
		простая	взвешенная
-1	Гармоническая		;
0	Геометрическая
1	Арифметическая		;
2	Квадратическая

Структурные средние – мода и медиана – в отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности.

Медианой называется значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Ранжированный ряд – ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания значений признака.

Для определения медианы сначала определяют ее место в ряду, используя формулу 5.2:

, (5.2)

где n – число членов ряда.

Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану условно принимают среднюю арифметическую их двух срединных значений.

Модой называется значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности (в статистическом ряду).